Resolva os seguintes sistemas utilizando o método de Gauss-Jacobi com
. Primeiramente, mostre que esse método realmente pode ser utilizado.
a)
com
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um sistema de equações lineares pra resolver usando o método de Gauss-Jacobi. O sistema é:
Vamos precisar conhecer o método de Gauss-Jacobi, que é uma técnica iterativa para resolver sistemas lineares. O objetivo é encontrar valores para
e
que satisfaçam ambas as equações. Vamos começar verificando se dá pra usar esse método nesse sistema.
Passo 2
Primeiro, para usar o método de Gauss-Jacobi, a matriz dos coeficientes do sistema precisa satisfazer uma condição importante: ela deve ser diagonalmente dominante. Isso ajuda a garantir que o método vai convergir para a solução correta.
Uma matriz é diagonalmente dominante se, para cada linha, o valor absoluto do coeficiente da diagonal principal for maior ou igual à soma dos valores absolutos dos outros coeficientes da mesma linha.
Vamos verificar isso:
Para a primeira equação:
Para a segunda equação:
Como ambas as linhas são diagonalmente dominantes, podemos usar o método de Gauss-Jacobi para resolver o sistema.
Passo 3
Agora, vamos reescrever as equações para isolar
e
:
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Essas formas são usadas no método de Gauss-Jacobi para iterar os valores de
e
.
Passo 4
Vamos começar com os valores iniciais
e
.
Agora, aplicamos as fórmulas iterativas:
Passo 5
Agora, usamos os valores de
e
para encontrar
e
:
Passo 6
Continuamos o processo até que a diferença entre as iterações seja menor que a tolerância
.
Vamos calcular a diferença:
Como a diferença para
já está menor que
, mas para
está exatamente igual a 0,5, vamos realizar mais uma iteração para garantir a convergência.
Passo 7
Calculando
e
:
Agora, verificamos as diferenças:
Ambas as diferenças agora são menores que
, então podemos parar as iterações.
Resposta
A solução aproximada do sistema pelo método de Gauss-Jacobi com
é: