Resolva os seguintes sistemas utilizando o método de Gauss-Jacobi com xi^0=0 forall i. Primeiramente, mostre que esse método realmente pode ser utilizado.
a) l3 x1+x2=5 x1+4 x2=6 com varepsilon=0,5

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sistema de equações lineares pra resolver usando o método de Gauss-Jacobi. O sistema é:
3x1 + x2 = 5 x1 + 4x2 = 6
Vamos precisar conhecer o método de Gauss-Jacobi, que é uma técnica iterativa para resolver sistemas lineares. O objetivo é encontrar valores para e que satisfaçam ambas as equações. Vamos começar verificando se dá pra usar esse método nesse sistema.

Passo 2

Primeiro, para usar o método de Gauss-Jacobi, a matriz dos coeficientes do sistema precisa satisfazer uma condição importante: ela deve ser diagonalmente dominante. Isso ajuda a garantir que o método vai convergir para a solução correta.
Uma matriz é diagonalmente dominante se, para cada linha, o valor absoluto do coeficiente da diagonal principal for maior ou igual à soma dos valores absolutos dos outros coeficientes da mesma linha.
Vamos verificar isso:
Para a primeira equação:
|3| >= |1| Rightarrow 3 >= 1 (Verdadeiro)
Para a segunda equação:
|4| >= |1| Rightarrow 4 >= 1 (Verdadeiro)
Como ambas as linhas são diagonalmente dominantes, podemos usar o método de Gauss-Jacobi para resolver o sistema.

Passo 3

Agora, vamos reescrever as equações para isolar 3x1 + x2 = 5 Rightarrow x1 = 5 - x23 e x1 + 4x2 = 6 Rightarrow x2 = 6 - x14 :
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Essas formas são usadas no método de Gauss-Jacobi para iterar os valores de e .

Passo 4

Vamos começar com os valores iniciais x1^(1) = 5 - x2^03 = 5 - 03 = 53 approx 1,6667 e x2^(1) = 6 - x1^04 = 6 - 04 = 64 = 1,5 .
Agora, aplicamos as fórmulas iterativas:

Passo 5

Agora, usamos os valores de x1^(2) = 5 - x2^(1)3 = 5 - 1,53 = 3,53 approx 1,1667 e x2^(2) = 6 - x1^(1)4 = 6 - 1,66674 = 4,33334 approx 1,0833 para encontrar e :

Passo 6

Continuamos o processo até que a diferença entre as iterações seja menor que a tolerância |x1^(2) - x1^(1)| = |1,1667 - 1,6667| = 0,5 .
Vamos calcular a diferença:
|x2^(2) - x2^(1)| = |1,0833 - 1,5| = 0,4167
Como a diferença para já está menor que , mas para está exatamente igual a 0,5, vamos realizar mais uma iteração para garantir a convergência.

Passo 7

Calculando x1^(3) = 5 - x2^(2)3 = 5 - 1,08333 = 3,91673 approx 1,3056 e x2^(3) = 6 - x1^(2)4 = 6 - 1,16674 = 4,83334 approx 1,2083 :
|x1^(3) - x1^(2)| = |1,3056 - 1,1667| = 0,1389
|x2^(3) - x2^(2)| = |1,2083 - 1,0833| = 0,1250
Agora, verificamos as diferenças:
Ambas as diferenças agora são menores que , então podemos parar as iterações.

Resposta

A solução aproximada do sistema pelo método de Gauss-Jacobi com x1 approx 1,3056 x2 approx 1,2083 é:

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