Resolva os seguintes sistemas utilizando o método de Gauss-Seidel. Primeiramente, mostre que esse método realmente pode ser utilizado. Considere .
a) Com
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss-Seidel. Esse método é uma técnica iterativa para encontrar soluções aproximadas de sistemas lineares. Primeiro, precisamos verificar se podemos usar o Gauss-Seidel nesse sistema. Vamos lá!
Passo 2
Para garantir que o método de Gauss-Seidel funcione, geralmente verificamos se a matriz dos coeficientes é diagonalmente dominante. Isso significa que, em cada equação, o valor absoluto do coeficiente da variável principal é maior ou igual à soma dos valores absolutos dos outros coeficientes na mesma linha.
Vamos analisar a matriz dos coeficientes:
Para a primeira equação:
Para a segunda equação:
Como ambas as linhas são diagonalmente dominantes, podemos usar o método de Gauss-Seidel com confiança.
Passo 3
Vamos agora aplicar o método de Gauss-Seidel. Começamos com uma suposição inicial, que nesse caso é e . Nosso objetivo é iterar até que as soluções não mudem mais além de uma tolerância .
Primeiro, reescrevemos as equações para isolar e :
Agora, vamos às iterações:
Iteração 1:
Verificando a tolerância:
Ainda não atingimos a tolerância, vamos para a próxima iteração.
Iteração 2:
Verificando a tolerância:
Para ainda estamos acima da tolerância, então vamos continuar.
Iteração 3:
Verificando a tolerância:
Agora, ambas as variáveis estão dentro da tolerância estabelecida.
Resposta
A solução aproximada do sistema utilizando o método de Gauss-Seidel é: