Resolva os seguintes sistemas utilizando o método de Gauss-Seidel. Primeiramente, mostre que esse método realmente pode ser utilizado. Considere com xi^0=0 forall i.
a) l4 x1+x2=11 x1+3 x2=7 Com varepsilon=0,4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss-Seidel. Esse método é uma técnica iterativa para encontrar soluções aproximadas de sistemas lineares. Primeiro, precisamos verificar se podemos usar o Gauss-Seidel nesse sistema. Vamos lá!

Passo 2

Para garantir que o método de Gauss-Seidel funcione, geralmente verificamos se a matriz dos coeficientes é diagonalmente dominante. Isso significa que, em cada equação, o valor absoluto do coeficiente da variável principal é maior ou igual à soma dos valores absolutos dos outros coeficientes na mesma linha.
Vamos analisar a matriz dos coeficientes:
4x1 + x2 = 11 x1 + 3x2 = 7
Para a primeira equação:
|4| >= |1| (4 ≥ 1) ✅
Para a segunda equação:
|3| >= |1| (3 ≥ 1) ✅
Como ambas as linhas são diagonalmente dominantes, podemos usar o método de Gauss-Seidel com confiança.

Passo 3

Vamos agora aplicar o método de Gauss-Seidel. Começamos com uma suposição inicial, que nesse caso é x1 = 11 - x24 e x2 = 7 - x13 . Nosso objetivo é iterar até que as soluções não mudem mais além de uma tolerância x1^(1) = 11 - x2^(0)4 = 11 - 04 = 2,75 .
Primeiro, reescrevemos as equações para isolar x2^(1) = 7 - x1^(1)3 = 7 - 2,753 = 1,4167 e |x1^(1) - x1^(0)| = |2,75 - 0| = 2,75 > 0,4 :
|x2^(1) - x2^(0)| = |1,4167 - 0| = 1,4167 > 0,4
x1^(2) = 11 - x2^(1)4 = 11 - 1,41674 = 2,1458
Agora, vamos às iterações:
Iteração 1:
x2^(2) = 7 - x1^(2)3 = 7 - 2,14583 = 1,6181
|x1^(2) - x1^(1)| = |2,1458 - 2,75| = 0,6042 > 0,4
Verificando a tolerância:
|x2^(2) - x2^(1)| = |1,6181 - 1,4167| = 0,2014 < 0,4
x1^(3) = 11 - x2^(2)4 = 11 - 1,61814 = 2,3455
Ainda não atingimos a tolerância, vamos para a próxima iteração.
Iteração 2:
x2^(3) = 7 - x1^(3)3 = 7 - 2,34553 = 1,5518
|x1^(3) - x1^(2)| = |2,3455 - 2,1458| = 0,1997 < 0,4
Verificando a tolerância:
|x2^(3) - x2^(2)| = |1,5518 - 1,6181| = 0,0663 < 0,4
Para ainda estamos acima da tolerância, então vamos continuar.
Iteração 3:
Verificando a tolerância:
Agora, ambas as variáveis estão dentro da tolerância estabelecida.

Resposta

A solução aproximada do sistema utilizando o método de Gauss-Seidel é:
x1 approx 2,35 e x2 approx 1,55

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