Resolva os seguintes sistemas utilizando o método de Gauss-Seidel. Primeiramente, mostre que esse método realmente pode ser utilizado. Considere .
a) Com

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss-Seidel. Esse método é uma técnica iterativa para encontrar soluções aproximadas de sistemas lineares. Primeiro, precisamos verificar se podemos usar o Gauss-Seidel nesse sistema. Vamos lá!

Passo 2

Para garantir que o método de Gauss-Seidel funcione, geralmente verificamos se a matriz dos coeficientes é diagonalmente dominante. Isso significa que, em cada equação, o valor absoluto do coeficiente da variável principal é maior ou igual à soma dos valores absolutos dos outros coeficientes na mesma linha.
Vamos analisar a matriz dos coeficientes:
Para a primeira equação:
Para a segunda equação:
Como ambas as linhas são diagonalmente dominantes, podemos usar o método de Gauss-Seidel com confiança.

Passo 3

Vamos agora aplicar o método de Gauss-Seidel. Começamos com uma suposição inicial, que nesse caso é e . Nosso objetivo é iterar até que as soluções não mudem mais além de uma tolerância .
Primeiro, reescrevemos as equações para isolar e :
Agora, vamos às iterações:
Iteração 1:
Verificando a tolerância:
Ainda não atingimos a tolerância, vamos para a próxima iteração.
Iteração 2:
Verificando a tolerância:
Para ainda estamos acima da tolerância, então vamos continuar.
Iteração 3:
Verificando a tolerância:
Agora, ambas as variáveis estão dentro da tolerância estabelecida.

Resposta

A solução aproximada do sistema utilizando o método de Gauss-Seidel é:

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Resolva os seguintes sistemas com e sem pivotação parcial, utilizando o método de Eliminação de Gauss e considerando duas casas decimais.
Dada a matriz calcular
b)
Um engenheiro civil está projetando uma estrutura de suporte para um telhado em uma construção. A estrutura é composta por três vigas e um suporte central. Cada viga é submetida a diferentes forças devido ao peso do telhado e a cargas externas, como vento, que exerce uma carga horizontal de 4 kN sobre a estrutura. O telhado exerce uma carga total de 12 kN . Sabe-se que a estrutura está em equilíbrio. Determine as forças em cada viga e no suporte central, de modo que o projeto esteja nos pradões de segurança da estrutura. Modelagem do problema: Analisando as forças de compressão e tração nas vigas temos que . O suporte central ajuda a resistir ao vento, portanto, . O momento em relação ao superte central nos fornece que , Considerando a resistência do suporte central determine o sistema de equações que resolva o problema e assim determine as forças em cada viga e no suporte central.
Resolva os seguintes sistemas utilizando o método de Gauss-Jacobi com . Primeiramente, mostre que esse método realmente pode ser utilizado.
a) com