Resolva os seguintes sistemas com e sem pivotação parcial, utilizando o método de Eliminação de Gauss e considerando duas casas decimais.
& a) l x1-3 x2+5 x3+6 x4=17 -8 x1+4 x2-1 x3=29 3 x1+2 x2-2 x3+7 x4=-11 x1+2 x2+5 x3-4 x4=7 & b) l -2 x1+3 x2+x3+5 x4=2 5 x1+x2-x3=-1 x1+6 x2+3 x3-x4=0 4 x1+5 x2+2 x3+8 x4=6

Passo 1

Beleza, vamos resolver o sistema a) usando o Método de Eliminação de Gauss, tanto com quanto sem pivotação parcial. Esse método ajuda a simplificar sistemas de equações lineares transformando-os em uma forma triangular, facilitando a solução das incógnitas. Para isso, vamos precisar manipular as equações para eliminar variáveis uma a uma.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema a) na forma de matriz aumentada:
1 & -3 & 5 & 6 & | & 17 -8 & 4 & -1 & 0 & | & 29 3 & 2 & -2 & 7 & | & -11 1 & 2 & 5 & -4 & | & 7

Passo 3

Sem Pivotação Parcial

Vamos começar eliminando o 8 times (1x1 - 3x2 + 5x3 + 6x4) + (-8x1 + 4x2 - 1x3) = 8 times 17 + 29 das equações 2, 3 e 4 usando a equação 1.
Etapa 1: Eliminar 8x1 - 24x2 + 40x3 + 48x4 -8x1 +4x2 -1x3 = 136 + 29 da equação 2.
Multiplicamos a equação 1 por 8 e somamos com a equação 2:
-20x2 +39x3 +48x4 =165
-3 times (1x1 -3x2 +5x3 +6x4) +3x1 +2x2 -2x3 +7x4 = -3 times17 + (-11)
-3x1 +9x2 -15x3 -18x4 +3x1 +2x2 -2x3 +7x4 = -51 -11
Etapa 2: Eliminar 11x2 -17x3 -11x4 = -62 da equação 3.
Multiplicamos a equação 1 por -3 e somamos com a equação 3:
-1 times (1x1 -3x2 +5x3 +6x4) +1x1 +2x2 +5x3 -4x4 = -1 times17 +7
-1x1 +3x2 -5x3 -6x4 +1x1 +2x2 +5x3 -4x4 = -17 +7
5x2 -10x4 = -10
Etapa 3: Eliminar -20x2 +39x3 +48x4 =165 11x2 -17x3 -11x4 =-62 5x2 -10x4 =-10 da equação 4.
Multiplicamos a equação 1 por -1 e somamos com a equação 4:
Agora, nosso sistema fica:

Passo 4

Continuando sem pivotação, vamos eliminar 1120 times (-20x2 +39x3 +48x4) +11x2 -17x3 -11x4 = 1120 times165 + (-62) nas equações 2 e 3 usando a equação 1 atualizada.
Etapa 1: Eliminar -11x2 +21.45x3 +26.4x4 +11x2 -17x3 -11x4 = 90.75 -62 da equação 2.
Multiplicamos a equação 1 por 4.45x3 +15.4x4 =28.75 e somamos com a equação 2:
-14 times (-20x2 +39x3 +48x4) +5x2 -10x4 = -14 times165 + (-10)
5x2 -9.75x3 -12x4 +5x2 -10x4 = -41.25 -10
-9.75x3 -22x4 =-51.25
Etapa 2: Eliminar -20x2 +39x3 +48x4 =165 4.45x3 +15.4x4 =28.75 -9.75x3 -22x4 =-51.25 da equação 3.
Multiplicamos a equação 1 por e somamos com a equação 3:
Agora, nosso sistema fica:

Passo 5

Agora, vamos resolver para -9.75x3 -22x4 =-51.25 e 4.45x3 +15.4x4 =28.75 .
Multiplicando a segunda equação por (3.462) times 4.45x3 + (3.462) times15.4x4 =3.462 times28.75 para facilitar a eliminação:
-15.0x3 -22x4 =-51.25 15.4x4 approx ?
Multiplicando a segunda equação por :
(As contas aqui podem ficar complexas, mas para simplificar, vamos resolver o sistema 2 equações com duas incógnitas usando substituição ou outra técnica.)

Passo 6

Resolvendo o sistema das duas últimas equações:
4.45x3 +15.4x4 =28.75 -9.75x3 -22x4 =-51.25
Multiplicando a primeira equação por 9.75 e a segunda por 4.45 para igualar os coeficientes de 9.75 times (4.45x3 +15.4x4) =9.75 times28.75 4.45 times (-9.75x3 -22x4) =4.45 times-51.25 :
43.3875x3 +150.15x4 =280.3125 -43.3875x3 -97.9x4 =-227.8125
Calculando:
52.25x4 =52.5 x4 = 52.552.25 approx 1.00
Somando as duas equações:

Passo 7

Com 4.45x3 +15.4(1) =28.75 4.45x3 +15.4 =28.75 4.45x3 =13.35 x3 = 13.354.45 approx 3.00 , substituímos na segunda equação:

Passo 8

Agora, substituímos -20x2 +39(3) +48(1) =165 -20x2 +117 +48 =165 -20x2 =0 x2 =0 e na primeira equação do sistema atual:

Passo 9

Finalmente, substituímos x1 -3(0) +5(3) +6(1) =17 x1 +15 +6 =17 x1 =17 -21 x1 =-4 , e na equação 1 original para encontrar :

Passo 10

Com Pivotação Parcial

Agora, vamos resolver o mesmo sistema usando pivotação parcial. Isso significa que, em cada etapa, escolhemos como pivô o maior valor absoluto na coluna atual para reduzir erros numéricos.
Começando com a matriz aumentada:
1 & -3 & 5 & 6 & | & 17 -8 & 4 & -1 & 0 & | & 29 3 & 2 & -2 & 7 & | & -11 1 & 2 & 5 & -4 & | & 7

Passo 11

Etapa 1: Escolher o pivô na primeira coluna. O maior valor absoluto na primeira coluna é 8 (linha 2). Vamos trocar a linha 1 pela linha 2.
-8 & 4 & -1 & 0 & | & 29 1 & -3 & 5 & 6 & | & 17 3 & 2 & -2 & 7 & | & -11 1 & 2 & 5 & -4 & | & 7

Passo 12

Etapa 2: Normalizar o pivô (-8) e eliminar 1 & -0.5 & 0.125 & 0 & | & -3.625 1 & -3 & 5 & 6 & | & 17 3 & 2 & -2 & 7 & | & -11 1 & 2 & 5 & -4 & | & 7 das demais linhas.
Multiplicamos a linha 1 por 1 -1 =0, -3 - (-0.5)= -2.5, 5 -0.125=4.875, 6 -0=6, 17 - (-3.625)=20.625 :
3 -3=0, 2 -3 × (-0.5)=3.5, -2 -3 ×0.125= -2.375, 7 -0=7, -11 -3 × (-3.625)= -11 +10.875= -0.125
Subtraímos a linha 1 das linhas 2, 3 e 4:
Linha 2: Linha 2 - Linha 1
1 -1=0, 2 - (-0.5)=2.5, 5 -0.125=4.875, -4 -0= -4, 7 - (-3.625)=10.625
Linha 3: Linha 3 -3 × Linha 1
1 & -0.5 & 0.125 & 0 & | & -3.625 0 & -2.5 &4.875 &6 & | &20.625 0 &3.5 &-2.375 &7 & | & -0.125 0 &2.5 &4.875 &-4 & | &10.625
Linha 4: Linha 4 - Linha 1
Nova matriz:

Passo 13

Etapa 3: Escolher o pivô na segunda coluna. Os valores absolutos são 2.5, 3.5, 2.5. O maior é 3.5 (linha 3). Vamos trocar a linha 2 pela linha 3.
1 & -0.5 & 0.125 & 0 & | & -3.625 0 &3.5 &-2.375 &7 & | & -0.125 0 &-2.5 &4.875 &6 & | &20.625 0 &2.5 &4.875 &-4 & | &10.625

Passo 14

Etapa 4: Normalizar o pivô (3.5) e eliminar 1 & -0.5 &0.125 &0 & | &-3.625 0 &1 &-0.6786 &2 & | & -0.0357 0 &-2.5 &4.875 &6 & | &20.625 0 &2.5 &4.875 &-4 & | &10.625 das demais linhas.
Multiplicamos a linha 2 por 1, -0.5 +0.5×1=0, 0.125 +0.5×(-0.6786)=0.125 -0.3393≈ -0.2143, 0 +0.5×2=1, -3.625 +0.5×(-0.0357)≈ -3.625 -0.01785≈ -3.64285 :
0, -2.5 +2.5×1=0, 4.875 +2.5×(-0.6786)=4.875 -1.6965≈3.1785, 6 +2.5×2=6 +5=11, 20.625 +2.5×(-0.0357)≈20.625 -0.0893≈20.535
Eliminamos 0, 2.5 -2.5×1=0, 4.875 -2.5×(-0.6786)=4.875 +1.6965≈6.5715, -4 -2.5×2= -4 -5= -9, 10.625 -2.5×(-0.0357)≈10.625 +0.0893≈10.7143 das linhas 1, 3 e 4.
Linha 1: Linha 1 +0.5 × Linha 2
1 &0 &-0.2143 &1 & | &-3.64285 0 &1 &-0.6786 &2 & | &-0.0357 0 &0 &3.1785 &11 & | &20.535 0 &0 &6.5715 &-9 & | &10.7143
Linha 3: Linha 3 +2.5 × Linha 2
Linha 4: Linha 4 -2.5 × Linha 2
Nova matriz:

Passo 15

Etapa 5: Escolher o pivô na terceira coluna. Os valores são 3.1785 e 6.5715. O maior é 6.5715 (linha 4). Vamos trocar a linha 3 pela linha 4.
1 &0 &-0.2143 &1 & | &-3.64285 0 &1 &-0.6786 &2 & | &-0.0357 0 &0 &6.5715 &-9 & | &10.7143 0 &0 &3.1785 &11 & | &20.535

Passo 16

Etapa 6: Normalizar o pivô (6.5715) e eliminar 1 &0 &-0.2143 &1 & | &-3.64285 0 &1 &-0.6786 &2 & | &-0.0357 0 &0 &1 &-1.368 & | &1.632 0 &0 &3.1785 &11 & | &20.535 da linha 4.
Multiplicamos a linha 3 por 0, 0, 3.1785 -3.1785×1=0, 11 -3.1785×(-1.368)≈11 +4.347≈15.347, 20.535 -3.1785×1.632≈20.535 -5.185≈15.35 :
1 &0 &-0.2143 &1 & | &-3.64285 0 &1 &-0.6786 &2 & | &-0.0357 0 &0 &1 &-1.368 & | &1.632 0 &0 &0 &15.347 & | &15.35
Eliminamos da linha 4:
Linha 4: Linha 4 -3.1785 × Linha 3
Nova matriz:

Passo 17

Etapa 7: Resolver a última equação para 15.347x4 =15.35 x4 = 15.3515.347 approx1.00 :

Passo 18

Substituir x3 -1.368(1) =1.632 x3 =1.632 +1.368 x3 =3.00 na terceira equação:

Passo 19

Substituir x2 -0.6786(3) +2(1) =-0.0357 x2 -2.0358 +2 =-0.0357 x2 -0.0358 =-0.0357 x2 =0.00 e na segunda equação:

Passo 20

Por fim, substituir x1 -0.2143(3) +1(1) =-3.64285 x1 -0.6429 +1 =-3.64285 x1 +0.3571 =-3.64285 x1 =-3.64285 -0.3571 x1 =-4.00 , e na primeira equação:

Resposta

Solução com pivotação parcial:
x1 = -4.00, x2 = 0.00, x3 = 3.00, x4 = 1.00

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