Resolva os seguintes sistemas com e sem pivotação parcial, utilizando o método de Eliminação de Gauss e considerando duas casas decimais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o sistema a) usando o Método de Eliminação de Gauss, tanto com quanto sem pivotação parcial. Esse método ajuda a simplificar sistemas de equações lineares transformando-os em uma forma triangular, facilitando a solução das incógnitas. Para isso, vamos precisar manipular as equações para eliminar variáveis uma a uma.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema a) na forma de matriz aumentada:

Passo 3

Sem Pivotação Parcial

Vamos começar eliminando o das equações 2, 3 e 4 usando a equação 1.
Etapa 1: Eliminar da equação 2.
Multiplicamos a equação 1 por 8 e somamos com a equação 2:
Etapa 2: Eliminar da equação 3.
Multiplicamos a equação 1 por -3 e somamos com a equação 3:
Etapa 3: Eliminar da equação 4.
Multiplicamos a equação 1 por -1 e somamos com a equação 4:
Agora, nosso sistema fica:

Passo 4

Continuando sem pivotação, vamos eliminar nas equações 2 e 3 usando a equação 1 atualizada.
Etapa 1: Eliminar da equação 2.
Multiplicamos a equação 1 por e somamos com a equação 2:
Etapa 2: Eliminar da equação 3.
Multiplicamos a equação 1 por e somamos com a equação 3:
Agora, nosso sistema fica:

Passo 5

Agora, vamos resolver para e .
Multiplicando a segunda equação por para facilitar a eliminação:
Multiplicando a segunda equação por :
(As contas aqui podem ficar complexas, mas para simplificar, vamos resolver o sistema 2 equações com duas incógnitas usando substituição ou outra técnica.)

Passo 6

Resolvendo o sistema das duas últimas equações:
Multiplicando a primeira equação por 9.75 e a segunda por 4.45 para igualar os coeficientes de :
Calculando:
Somando as duas equações:

Passo 7

Com , substituímos na segunda equação:

Passo 8

Agora, substituímos e na primeira equação do sistema atual:

Passo 9

Finalmente, substituímos , e na equação 1 original para encontrar :

Passo 10

Com Pivotação Parcial

Agora, vamos resolver o mesmo sistema usando pivotação parcial. Isso significa que, em cada etapa, escolhemos como pivô o maior valor absoluto na coluna atual para reduzir erros numéricos.
Começando com a matriz aumentada:

Passo 11

Etapa 1: Escolher o pivô na primeira coluna. O maior valor absoluto na primeira coluna é 8 (linha 2). Vamos trocar a linha 1 pela linha 2.

Passo 12

Etapa 2: Normalizar o pivô (-8) e eliminar das demais linhas.
Multiplicamos a linha 1 por :
Subtraímos a linha 1 das linhas 2, 3 e 4:
Linha 2: Linha 2 - Linha 1
Linha 3: Linha 3 -3 × Linha 1
Linha 4: Linha 4 - Linha 1
Nova matriz:

Passo 13

Etapa 3: Escolher o pivô na segunda coluna. Os valores absolutos são 2.5, 3.5, 2.5. O maior é 3.5 (linha 3). Vamos trocar a linha 2 pela linha 3.

Passo 14

Etapa 4: Normalizar o pivô (3.5) e eliminar das demais linhas.
Multiplicamos a linha 2 por :
Eliminamos das linhas 1, 3 e 4.
Linha 1: Linha 1 +0.5 × Linha 2
Linha 3: Linha 3 +2.5 × Linha 2
Linha 4: Linha 4 -2.5 × Linha 2
Nova matriz:

Passo 15

Etapa 5: Escolher o pivô na terceira coluna. Os valores são 3.1785 e 6.5715. O maior é 6.5715 (linha 4). Vamos trocar a linha 3 pela linha 4.

Passo 16

Etapa 6: Normalizar o pivô (6.5715) e eliminar da linha 4.
Multiplicamos a linha 3 por :
Eliminamos da linha 4:
Linha 4: Linha 4 -3.1785 × Linha 3
Nova matriz:

Passo 17

Etapa 7: Resolver a última equação para :

Passo 18

Substituir na terceira equação:

Passo 19

Substituir e na segunda equação:

Passo 20

Por fim, substituir , e na primeira equação:

Resposta

Solução com pivotação parcial:

Exercícios relacionados

Dada a matriz calcular
b)
Dado o vetor , calcular
c)
Resolva os seguintes sistemas utilizando o método de Gauss-Seidel. Primeiramente, mostre que esse método realmente pode ser utilizado. Considere .
a) Com
Um engenheiro civil está projetando uma estrutura de suporte para um telhado em uma construção. A estrutura é composta por três vigas e um suporte central. Cada viga é submetida a diferentes forças devido ao peso do telhado e a cargas externas, como vento, que exerce uma carga horizontal de 4 kN sobre a estrutura. O telhado exerce uma carga total de 12 kN . Sabe-se que a estrutura está em equilíbrio. Determine as forças em cada viga e no suporte central, de modo que o projeto esteja nos pradões de segurança da estrutura. Modelagem do problema: Analisando as forças de compressão e tração nas vigas temos que . O suporte central ajuda a resistir ao vento, portanto, . O momento em relação ao superte central nos fornece que , Considerando a resistência do suporte central determine o sistema de equações que resolva o problema e assim determine as forças em cada viga e no suporte central.