Resolva os seguintes sistemas com e sem pivotação parcial, utilizando o método de Eliminação de Gauss e considerando duas casas decimais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o sistema a) usando o Método de Eliminação de Gauss, tanto com quanto sem pivotação parcial. Esse método ajuda a simplificar sistemas de equações lineares transformando-os em uma forma triangular, facilitando a solução das incógnitas. Para isso, vamos precisar manipular as equações para eliminar variáveis uma a uma.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema a) na forma de matriz aumentada:
Passo 3
Sem Pivotação Parcial
Vamos começar eliminando o das equações 2, 3 e 4 usando a equação 1.
Etapa 1: Eliminar da equação 2.
Multiplicamos a equação 1 por 8 e somamos com a equação 2:
Etapa 2: Eliminar da equação 3.
Multiplicamos a equação 1 por -3 e somamos com a equação 3:
Etapa 3: Eliminar da equação 4.
Multiplicamos a equação 1 por -1 e somamos com a equação 4:
Agora, nosso sistema fica:
Passo 4
Continuando sem pivotação, vamos eliminar nas equações 2 e 3 usando a equação 1 atualizada.
Etapa 1: Eliminar da equação 2.
Multiplicamos a equação 1 por e somamos com a equação 2:
Etapa 2: Eliminar da equação 3.
Multiplicamos a equação 1 por e somamos com a equação 3:
Agora, nosso sistema fica:
Passo 5
Agora, vamos resolver para e .
Multiplicando a segunda equação por para facilitar a eliminação:
Multiplicando a segunda equação por :
(As contas aqui podem ficar complexas, mas para simplificar, vamos resolver o sistema 2 equações com duas incógnitas usando substituição ou outra técnica.)
Passo 6
Resolvendo o sistema das duas últimas equações:
Multiplicando a primeira equação por 9.75 e a segunda por 4.45 para igualar os coeficientes de :
Calculando:
Somando as duas equações:
Passo 7
Com , substituímos na segunda equação:
Passo 8
Agora, substituímos e na primeira equação do sistema atual:
Passo 9
Finalmente, substituímos , e na equação 1 original para encontrar :
Passo 10
Com Pivotação Parcial
Agora, vamos resolver o mesmo sistema usando pivotação parcial. Isso significa que, em cada etapa, escolhemos como pivô o maior valor absoluto na coluna atual para reduzir erros numéricos.
Começando com a matriz aumentada:
Passo 11
Etapa 1: Escolher o pivô na primeira coluna. O maior valor absoluto na primeira coluna é 8 (linha 2). Vamos trocar a linha 1 pela linha 2.
Passo 12
Etapa 2: Normalizar o pivô (-8) e eliminar das demais linhas.
Multiplicamos a linha 1 por :
Subtraímos a linha 1 das linhas 2, 3 e 4:
Linha 2: Linha 2 - Linha 1
Linha 3: Linha 3 -3 × Linha 1
Linha 4: Linha 4 - Linha 1
Nova matriz:
Passo 13
Etapa 3: Escolher o pivô na segunda coluna. Os valores absolutos são 2.5, 3.5, 2.5. O maior é 3.5 (linha 3). Vamos trocar a linha 2 pela linha 3.
Passo 14
Etapa 4: Normalizar o pivô (3.5) e eliminar das demais linhas.
Multiplicamos a linha 2 por :
Eliminamos das linhas 1, 3 e 4.
Linha 1: Linha 1 +0.5 × Linha 2
Linha 3: Linha 3 +2.5 × Linha 2
Linha 4: Linha 4 -2.5 × Linha 2
Nova matriz:
Passo 15
Etapa 5: Escolher o pivô na terceira coluna. Os valores são 3.1785 e 6.5715. O maior é 6.5715 (linha 4). Vamos trocar a linha 3 pela linha 4.
Passo 16
Etapa 6: Normalizar o pivô (6.5715) e eliminar da linha 4.