Enumerar, localizar, separar e calcular, se possível, todas as raízes da função f(x)=2 x+ln x, considere varepsilon=10^-6, 6 casas decimais de aproximação e os seguintes métodos para Zero de Funções:
c) Newton-Raphson. Atribua um valor para x0 in[a, b];

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a função e precisamos encontrar todas as raízes dela, ou seja, os valores de que fazem . A gente vai usar o método de Newton-Raphson para isso, com uma precisão de e arredondando para 6 casas decimais. Primeiro, vamos entender que a matéria envolvida aqui é a de cálculo, especificamente métodos numéricos para encontrar zeros de funções. Para resolver, vamos precisar entender como o método de Newton-Raphson funciona e calcular a derivada da função.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o intervalo onde a raiz está localizada. A função está definida para , porque o logaritmo natural só existe para números positivos. Vamos analisar o comportamento de :
  • Quando está próximo de 0, tende a , então também tende a .
  • Quando , .
Isso significa que a função passa de negativa para positiva conforme aumenta de 0 para 1. Portanto, existe uma raiz no intervalo . Vamos escolher um valor inicial dentro desse intervalo. Vamos usar .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método de Newton-Raphson. Primeiro, precisamos da derivada da função f(x) = 2x + ln x . Vamos calcular:
f'(x) = 2 + 1x
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
O método de Newton-Raphson usa a fórmula:
Vamos começar com .

Passo 4

Vamos iterar o método até que a diferença entre f(0.5) = 2(0.5) + ln(0.5) = 1 - 0.693147 = 0.306853 e f'(0.5) = 2 + 10.5 = 2 + 2 = 4 seja menor que x1 = 0.5 - 0.3068534 = 0.5 - 0.076713 = 0.423287 .
Iteração 1:
f(0.423287) = 2(0.423287) + ln(0.423287) approx 0.846574 - 0.858754 = -0.012180
f'(0.423287) = 2 + 10.423287 approx 2 + 2.3636 = 4.3636
x2 = 0.423287 - -0.0121804.3636 approx 0.423287 + 0.002790 = 0.426077
Iteração 2:
f(0.426077) = 2(0.426077) + ln(0.426077) approx 0.852154 - 0.852018 = 0.000136
f'(0.426077) = 2 + 10.426077 approx 2 + 2.3474 = 4.3474
x3 = 0.426077 - 0.0001364.3474 approx 0.426077 - 0.000031 = 0.426046
Iteração 3:
f(0.426046) = 2(0.426046) + ln(0.426046) approx 0.852092 - 0.852046 = 0.000046
f'(0.426046) = 2 + 10.426046 approx 2 + 2.3475 = 4.3475
x4 = 0.426046 - 0.0000464.3475 approx 0.426046 - 0.000010 = 0.426036
Iteração 4:
Agora, a diferença entre e é , que é menor que . Então, podemos parar as iterações.

Resposta

A raiz da função x approx 0.426036 utilizando o método de Newton-Raphson, com precisão de e arredondamento para 6 casas decimais, é aproximadamente:

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