Enumerar, localizar, separar e calcular, se possível, todas as raízes da função , considere casas decimais de aproximação e os seguintes métodos para Zero de Funções:
c) Newton-Raphson. Atribua um valor para ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a função e precisamos encontrar todas as raízes dela, ou seja, os valores de que fazem . A gente vai usar o método de Newton-Raphson para isso, com uma precisão de e arredondando para 6 casas decimais. Primeiro, vamos entender que a matéria envolvida aqui é a de cálculo, especificamente métodos numéricos para encontrar zeros de funções. Para resolver, vamos precisar entender como o método de Newton-Raphson funciona e calcular a derivada da função.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o intervalo onde a raiz está localizada. A função está definida para , porque o logaritmo natural só existe para números positivos. Vamos analisar o comportamento de :
  • Quando está próximo de 0, tende a , então também tende a .
  • Quando , .
Isso significa que a função passa de negativa para positiva conforme aumenta de 0 para 1. Portanto, existe uma raiz no intervalo . Vamos escolher um valor inicial dentro desse intervalo. Vamos usar .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método de Newton-Raphson. Primeiro, precisamos da derivada da função . Vamos calcular:
O método de Newton-Raphson usa a fórmula:
Vamos começar com .

Passo 4

Vamos iterar o método até que a diferença entre e seja menor que .
Iteração 1:
Iteração 2:
Iteração 3:
Iteração 4:
Agora, a diferença entre e é , que é menor que . Então, podemos parar as iterações.

Resposta

A raiz da função utilizando o método de Newton-Raphson, com precisão de e arredondamento para 6 casas decimais, é aproximadamente:

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Enumerar, localizar, separar e calcular, se possível, todas as raízes da função , considere casas decimais de aproximação e os seguintes métodos para Zero de Funções:
b) Posição Falsa;
Enumerar, localizar, separar e calcular, se possível, todas as raízes da função , considere casas decimais de aproximação e os seguintes métodos para Zero de Funções:
a) Bissecção. Calcule o número de iterações;
Enumerar, localizar, separar e calcular, se possível, todas as raízes da função , considere casas decimais de aproximação e os seguintes métodos para Zero de Funções:
d) Secante. Atribua dois valores iniciais para e ;
Enumerar, localizar, separar e calcular, se possível, todas as raízes da função , considere casas decimais de aproximação e os seguintes métodos para Zero de Funções:
e) Construa uma tabela com os valores das raízes aproximadas para cada método, , o número de iterações e os erros. Analise qual o melhor método e justifique.