Enumerar, localizar, separar e calcular, se possível, todas as raízes da função
, considere
casas decimais de aproximação e os seguintes métodos para Zero de Funções:
c) Newton-Raphson. Atribua um valor para
;
c) Newton-Raphson. Atribua um valor para
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a função
e precisamos encontrar todas as raízes dela, ou seja, os valores de
que fazem
. A gente vai usar o método de Newton-Raphson para isso, com uma precisão de
e arredondando para 6 casas decimais. Primeiro, vamos entender que a matéria envolvida aqui é a de cálculo, especificamente métodos numéricos para encontrar zeros de funções. Para resolver, vamos precisar entender como o método de Newton-Raphson funciona e calcular a derivada da função.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o intervalo onde a raiz está localizada. A função
está definida para
, porque o logaritmo natural só existe para números positivos. Vamos analisar o comportamento de
:
- Quando
está próximo de 0, tende a , então também tende a . - Quando
, .
Isso significa que a função passa de negativa para positiva conforme
aumenta de 0 para 1. Portanto, existe uma raiz no intervalo
. Vamos escolher um valor inicial
dentro desse intervalo. Vamos usar
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o método de Newton-Raphson. Primeiro, precisamos da derivada da função
. Vamos calcular:
O método de Newton-Raphson usa a fórmula:
Vamos começar com
.
Passo 4
Vamos iterar o método até que a diferença entre
e
seja menor que
.
Iteração 1:
Iteração 2:
Iteração 3:
Iteração 4:
Agora, a diferença entre
e
é
, que é menor que
. Então, podemos parar as iterações.
Resposta
A raiz da função
utilizando o método de Newton-Raphson, com precisão de
e arredondamento para 6 casas decimais, é aproximadamente:
Exercícios relacionados
Enumerar, localizar, separar e calcular, se possível, todas as raízes da função
, considere
casas decimais de aproximação e os seguintes métodos para Zero de Funções:
b) Posição Falsa;
b) Posição Falsa;
Enumerar, localizar, separar e calcular, se possível, todas as raízes da função
, considere
casas decimais de aproximação e os seguintes métodos para Zero de Funções:
a) Bissecção. Calcule o número de iterações;
a) Bissecção. Calcule o número de iterações;
Enumerar, localizar, separar e calcular, se possível, todas as raízes da função
, considere
casas decimais de aproximação e os seguintes métodos para Zero de Funções:
d) Secante. Atribua dois valores iniciais para e
;
d) Secante. Atribua dois valores iniciais para
Enumerar, localizar, separar e calcular, se possível, todas as raízes da função
, considere
casas decimais de aproximação e os seguintes métodos para Zero de Funções:
e) Construa uma tabela com os valores das raízes aproximadas para cada método, , o número de iterações e os erros. Analise qual o melhor método e justifique.
e) Construa uma tabela com os valores das raízes aproximadas para cada método,