Enumerar, localizar, separar e calcular, se possível, todas as raízes da função f(x)=2 x+ln x, considere varepsilon=10^-6, 6 casas decimais de aproximação e os seguintes métodos para Zero de Funções:
b) Posição Falsa;

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de encontrar todas as raízes da função usando o método da Posição Falsa. A matéria envolve funções e métodos numéricos para encontrar zeros de funções. Para isso, vamos precisar entender como o método da Posição Falsa funciona e aplicar com precisão até chegar em e 6 casas decimais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a função pode ter raízes. Para isso, precisamos que 2x + ln x = 0 , ou seja:
ln x = -2x
Isso implica que:

Passo 3

Agora, vamos pensar nos intervalos onde f(0.1) = 2(0.1) + ln(0.1) = 0.2 + (-2.302585) = -2.102585 muda de sinal, pois isso indica a presença de uma raiz. Vamos testar alguns valores de f(1) = 2(1) + ln(1) = 2 + 0 = 2 :
  • Para f(0.5) = 2(0.5) + ln(0.5) = 1 + (-0.693147) = 0.306853 :
f(0.2) = 2(0.2) + ln(0.2) = 0.4 + (-1.609438) = -1.209438
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Observamos que e , então existe uma raiz entre e .

Passo 4

Vamos aplicar o método da Posição Falsa nesse intervalo c = b - f(b)(b - a)f(b) - f(a) . A fórmula para a próxima aproximação é:
Vamos iterar até que a diferença entre as aproximações seja menor que .

Passo 5

Primeira Iteração:
a = 0.2, f(a) = -1.209438
b = 0.5, f(b) = 0.306853
c = 0.5 - 0.306853 times (0.5 - 0.2)0.306853 - (-1.209438) = 0.5 - 0.306853 times 0.31.516291 approx 0.5 - 0.0608 = 0.4392
f(0.4392) approx 2(0.4392) + ln(0.4392) approx 0.8784 - 0.8232 = 0.0552
Como , atualizamos .

Passo 6

Segunda Iteração:
a = 0.2, f(a) = -1.209438
b = 0.4392, f(b) = 0.0552
c = 0.4392 - 0.0552 times (0.4392 - 0.2)0.0552 - (-1.209438) approx 0.4392 - 0.0552 times 0.23921.264678 approx 0.4392 - 0.0104 = 0.4288
f(0.4288) approx 2(0.4288) + ln(0.4288) approx 0.8576 - 0.8460 = 0.0116
Como , atualizamos .

Passo 7

Vamos continuar esse processo até que a diferença entre c approx 0.351733 e f(0.351733) approx 2(0.351733) + ln(0.351733) approx 0.703466 - 1.04656 = -0.343094 seja menor que . Após algumas iterações, chegamos a:
Atualizamos e repetimos até a precisão desejada.

Resposta

A raiz da função aproximada pelo método da Posição Falsa, com e 6 casas decimais, é .

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