Enumerar, localizar, separar e calcular, se possível, todas as raízes da função f(x)=2 x+ln x, considere varepsilon=10^-6, 6 casas decimais de aproximação e os seguintes métodos para Zero de Funções:
d) Secante. Atribua dois valores iniciais para x0 in[a, b] e x1 in[a, b];

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar as raízes da função usando o método da secante. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre métodos numéricos para encontrar zeros de funções, especificamente o método da secante. Para isso, precisamos escolher dois valores iniciais e no intervalo onde acreditamos que a raiz está, e vamos iterar até chegar a uma aproximação com 6 casas decimais de precisão ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar a raiz da função 2x + ln x = 0 . A raiz é o valor de onde , ou seja:
Queremos resolver essa equação para .

Passo 3

Vamos escolher dois valores iniciais f(0.1) = 2(0.1) + ln(0.1) = 0.2 + (-2.302585) approx -2.102585 e f(1) = 2(1) + ln(1) = 2 + 0 = 2 em um intervalo onde sabemos que a função muda de sinal, o que indica que há uma raiz nesse intervalo. Por exemplo, vamos escolher e . Isso porque:
  • Para :
  • Para :
Como é negativo e é positivo, sabemos que existe uma raiz entre 0.1 e 1.

Passo 4

O método da secante usa a seguinte fórmula para encontrar a próxima aproximação xn+1 = xn - f(xn) cdot xn - xn-1f(xn) - f(xn-1) :
Vamos aplicar essa fórmula iterativamente até que a diferença entre duas aproximações consecutivas seja menor que .

Passo 5

Vamos começar as iterações:
Iteração 1:
  • x2 = 1 - 2 cdot 1 - 0.12 - (-2.102585) = 1 - 2 cdot 0.94.102585 approx 1 - 2 cdot 0.2198 approx 1 - 0.4396 = 0.5604 , x3 = 0.5604 - 0.5428 cdot 0.5604 - 10.5428 - 2 approx 0.5604 - 0.5428 cdot -0.4396-1.4572 approx 0.5604 - 0.5428 cdot 0.302 approx 0.5604 - 0.1639 approx 0.3965
  • x4 = 0.3965 - (-0.1323) cdot 0.3965 - 0.5604-0.1323 - 0.5428 approx 0.3965 + 0.1323 cdot -0.1639-0.6751 approx 0.3965 + 0.1323 cdot 0.2425 approx 0.3965 + 0.0321 approx 0.4286 , x5 = 0.4286 - 0.0099 cdot 0.4286 - 0.39650.0099 - (-0.1323) approx 0.4286 - 0.0099 cdot 0.03210.1422 approx 0.4286 - 0.0099 cdot 0.2257 approx 0.4286 - 0.0022 approx 0.4264
Aplicando a fórmula:
x6 = 0.4264 - 0.0004 cdot 0.4264 - 0.42860.0004 - 0.0099 approx 0.4264 - 0.0004 cdot -0.0022-0.0095 approx 0.4264 - 0.0004 cdot 0.2316 approx 0.4264 - 0.0001 approx 0.4263
Iteração 2:
  • ,
  • ,
Iteração 3:
  • ,
  • ,
Iteração 4:
  • ,
  • ,
Iteração 5:
  • ,
  • ,
Neste ponto, a diferença entre e é menor que , então paramos as iterações.

Resposta

A raiz da função encontrada pelo método da secante é aproximadamente com 6 casas decimais de precisão.

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