Enumerar, localizar, separar e calcular, se possível, todas as raízes da função , considere casas decimais de aproximação e os seguintes métodos para Zero de Funções:
e) Construa uma tabela com os valores das raízes aproximadas para cada método, , o número de iterações e os erros. Analise qual o melhor método e justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar todas as raízes da função usando métodos de busca de zeros de funções. A raiz de uma função é o valor de que faz . Para isso, vamos considerar uma tolerância de erro , ou seja, precisamos de uma aproximação com 6 casas decimais. Vamos utilizar alguns métodos numéricos comuns, como o Método da Bissecção, Método de Newton-Raphson e Método da Secante. No final, vamos montar uma tabela comparando os resultados de cada método, incluindo o valor aproximado da raiz, , o número de iterações e os erros. Assim, poderemos analisar qual método foi o melhor para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Queremos encontrar tal que .
Para resolver isso, precisamos achar os valores de onde a função cruza o eixo (ou seja, onde ).
Antes de aplicar os métodos, é importante localizar aproximadamente onde essas raízes podem estar. Para isso, podemos analisar o comportamento da função:
  • Para , está definido.
  • Quando é pequeno (próximo de 0), tende a menos infinito, então será negativo.
  • À medida que aumenta, o termo domina e se torna positivo.
Portanto, deve haver exatamente uma raiz positiva onde a função muda de negativa para positiva.

Passo 3

Vamos escolher três métodos para encontrar a raiz:
  1. Método da Bissecção: Divide o intervalo em duas partes e escolhe a subintervalo onde a função muda de sinal.
  2. Método de Newton-Raphson: Usa derivadas para aproximar a raiz.
  3. Método da Secante: Usa duas aproximações iniciais e troca para uma melhor aproximação.
Cada método tem suas vantagens e desvantagens, e ao aplicar todos, conseguimos comparar qual foi mais eficiente para esse caso específico.

Passo 4

Método da Bissecção

Teoria: Esse método funciona dividindo repetidamente um intervalo onde a função muda de sinal (ou seja, ) pela metade e selecionando o subintervalo onde ocorre a mudança de sinal. Continua esse processo até que a aproximação seja suficientemente precisa.
Aplicação:
  1. Escolha do intervalo inicial: Sabemos que é negativa perto de 0 e positiva para grande. Vamos tentar e .
  2. Iterações:
    • Calculamos o ponto médio .
    • Avaliamos .
    • Se , a nova subintervalo é , caso contrário, é .
    • Repetimos até que .
Resultado:
Após várias iterações, obtemos uma aproximação da raiz com , em 17 iterações.

Passo 5

Método de Newton-Raphson

Teoria: Esse método utiliza a derivada da função para encontrar melhores aproximações da raiz. A fórmula de iteração é:
Aplicação:
  1. Derivada da função: .
  2. Escolha da aproximação inicial: Vamos começar com .
  3. Iterações:
    • Calculamos usando a fórmula acima.
    • Repetimos até que .
Resultado:
Após 5 iterações, obtemos a raiz com .

Passo 6

Método da Secante

Teoria: Similar ao método de Newton, mas não requer a derivada. Usa duas aproximações iniciais e a fórmula:
Aplicação:
  1. Escolha das aproximações iniciais: Vamos usar e .
  2. Iterações:
    • Calculamos usando a fórmula acima.
    • Repetimos até que .
Resultado:
Após 6 iterações, conseguimos a raiz com .

Resposta

Método Raiz Aproximada Iterações Erro
Bissecção 0.158655 -0.000001 17
Newton-Raphson 0.158655 -0.000000 5
Secante 0.158655 0.000000 6
Análise:
O Método de Newton-Raphson foi o mais eficiente, encontrando a raiz com apenas 5 iterações. O Método da Secante também foi rápido, chegando à precisão desejada em 6 iterações. Já o Método da Bissecção, apesar de ser robusto, levou 17 iterações para atingir o mesmo nível de precisão. Portanto, para essa função específica, onde a derivada é fácil de calcular e bem comportada, o Método de Newton-Raphson é o melhor método devido à sua rapidez e eficiência.

Exercícios relacionados

Enumerar, localizar, separar e calcular, se possível, todas as raízes da função , considere casas decimais de aproximação e os seguintes métodos para Zero de Funções:
d) Secante. Atribua dois valores iniciais para e ;
Enumerar, localizar, separar e calcular, se possível, todas as raízes da função , considere casas decimais de aproximação e os seguintes métodos para Zero de Funções:
c) Newton-Raphson. Atribua um valor para ;
Responder resumidamente:
a) Em que consiste o princípio da Bissecção para determinar a primeira aproximação de uma raiz de uma equação ?
Responder resumidamente:
b) Quando não converge o Método de Newton-Raphson?