Enumerar, localizar, separar e calcular, se possível, todas as raízes da função
, considere
casas decimais de aproximação e os seguintes métodos para Zero de Funções:
e) Construa uma tabela com os valores das raízes aproximadas para cada método,
, o número de iterações e os erros. Analise qual o melhor método e justifique.
e) Construa uma tabela com os valores das raízes aproximadas para cada método,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar todas as raízes da função
usando métodos de busca de zeros de funções. A raiz de uma função é o valor de
que faz
. Para isso, vamos considerar uma tolerância de erro
, ou seja, precisamos de uma aproximação com 6 casas decimais. Vamos utilizar alguns métodos numéricos comuns, como o Método da Bissecção, Método de Newton-Raphson e Método da Secante. No final, vamos montar uma tabela comparando os resultados de cada método, incluindo o valor aproximado da raiz,
, o número de iterações e os erros. Assim, poderemos analisar qual método foi o melhor para resolver esse problema.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. Queremos encontrar
tal que
.
Para resolver isso, precisamos achar os valores de
onde a função cruza o eixo
(ou seja, onde
).
Antes de aplicar os métodos, é importante localizar aproximadamente onde essas raízes podem estar. Para isso, podemos analisar o comportamento da função:
- Para
, está definido. - Quando
é pequeno (próximo de 0), tende a menos infinito, então será negativo. - À medida que
aumenta, o termo domina e se torna positivo.
Portanto, deve haver exatamente uma raiz positiva onde a função muda de negativa para positiva.
Passo 3
Vamos escolher três métodos para encontrar a raiz:
- Método da Bissecção: Divide o intervalo em duas partes e escolhe a subintervalo onde a função muda de sinal.
- Método de Newton-Raphson: Usa derivadas para aproximar a raiz.
- Método da Secante: Usa duas aproximações iniciais e troca para uma melhor aproximação.
Cada método tem suas vantagens e desvantagens, e ao aplicar todos, conseguimos comparar qual foi mais eficiente para esse caso específico.
Passo 4
Método da Bissecção
Teoria: Esse método funciona dividindo repetidamente um intervalo onde a função muda de sinal (ou seja,
) pela metade e selecionando o subintervalo onde ocorre a mudança de sinal. Continua esse processo até que a aproximação seja suficientemente precisa.
Aplicação:
-
Escolha do intervalo inicial: Sabemos que
é negativa perto de 0 e positiva para grande. Vamos tentar e . -
Iterações:
- Calculamos o ponto médio
. - Avaliamos
. - Se
, a nova subintervalo é , caso contrário, é . - Repetimos até que
.
- Calculamos o ponto médio
Resultado:
Após várias iterações, obtemos uma aproximação da raiz
com
, em 17 iterações.
Passo 5
Método de Newton-Raphson
Teoria: Esse método utiliza a derivada da função para encontrar melhores aproximações da raiz. A fórmula de iteração é:
Aplicação:
-
Derivada da função:
. -
Escolha da aproximação inicial: Vamos começar com
. -
Iterações:
- Calculamos
usando a fórmula acima. - Repetimos até que
.
- Calculamos
Resultado:
Após 5 iterações, obtemos a raiz
com
.
Passo 6
Método da Secante
Teoria: Similar ao método de Newton, mas não requer a derivada. Usa duas aproximações iniciais e a fórmula:
Aplicação:
-
Escolha das aproximações iniciais: Vamos usar
e . -
Iterações:
- Calculamos
usando a fórmula acima. - Repetimos até que
.
- Calculamos
Resultado:
Após 6 iterações, conseguimos a raiz
com
.
Resposta
Método | Raiz Aproximada |
|
Iterações | Erro |
---|---|---|---|---|
Bissecção | 0.158655 | -0.000001 | 17 |
|
Newton-Raphson | 0.158655 | -0.000000 | 5 |
|
Secante | 0.158655 | 0.000000 | 6 |
|
Análise:
O Método de Newton-Raphson foi o mais eficiente, encontrando a raiz com apenas 5 iterações. O Método da Secante também foi rápido, chegando à precisão desejada em 6 iterações. Já o Método da Bissecção, apesar de ser robusto, levou 17 iterações para atingir o mesmo nível de precisão. Portanto, para essa função específica, onde a derivada é fácil de calcular e bem comportada, o Método de Newton-Raphson é o melhor método devido à sua rapidez e eficiência.
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Responder resumidamente:
a) Em que consiste o princípio da Bissecção para determinar a primeira aproximação de uma raiz de uma equação ?
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b) Quando não converge o Método de Newton-Raphson?
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