Enumere (calcular quantas e de que tipo são) as raízes dos seguintes polinômios:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar e contar todas as raízes do polinômio
. Isso envolve entender sobre raízes reais e complexas de polinômios. Para isso, vamos precisar usar o Teorema das Raízes Racionais e a fatoração de polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar encontrar as raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. Esse teorema diz que qualquer raiz racional da equação
é da forma
, onde
é um divisor do termo constante e
é um divisor do coeficiente líder.
No nosso polinômio, o termo constante é 15 e o coeficiente líder é 1. Então, as possíveis raízes racionais são os divisores de 15:
.
Passo 3
Vamos testar essas possíveis raízes substituindo no polinômio:
-
Para
: é uma raiz. -
Para
: é uma raiz. -
Para
: é uma raiz. -
Vamos parar por aqui, já que encontramos três raízes racionais.
Passo 4
Agora que encontramos
e
como raízes, podemos fatorar o polinômio:
Onde
é o quociente da divisão do polinômio original pelos fatores encontrados.
Passo 5
Dividindo
por
, obtemos:
Então, temos:
Passo 6
Agora, vamos encontrar as raízes de
:
Essas são raízes reais irracionais.
Resposta
O polinômio
possui cinco raízes reais:
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Separe as raízes de
.