Enumere (calcular quantas e de que tipo são) as raízes dos seguintes polinômios:
p(x)=x^5+x^4-8 x^3-16 x^2+7 x+15

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar e contar todas as raízes do polinômio . Isso envolve entender sobre raízes reais e complexas de polinômios. Para isso, vamos precisar usar o Teorema das Raízes Racionais e a fatoração de polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar encontrar as raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. Esse teorema diz que qualquer raiz racional da equação é da forma , onde é um divisor do termo constante e é um divisor do coeficiente líder.
No nosso polinômio, o termo constante é 15 e o coeficiente líder é 1. Então, as possíveis raízes racionais são os divisores de 15: .

Passo 3

Vamos testar essas possíveis raízes substituindo no polinômio:
  • Para 1 + 1 - 8 - 16 + 7 + 15 = 0 :
    -1 + 1 + 8 - 16 - 7 + 15 = 0
    243 + 81 - 216 - 144 + 21 + 15 = 0 é uma raiz.
  • Para :
    é uma raiz.
  • Para :
    é uma raiz.
  • Vamos parar por aqui, já que encontramos três raízes racionais.

Passo 4

Agora que encontramos p(x) = (x - 1)(x + 1)(x - 3)Q(x) e como raízes, podemos fatorar o polinômio:
Onde é o quociente da divisão do polinômio original pelos fatores encontrados.

Passo 5

Dividindo Q(x) = x^2 + 0x - 5 por p(x) = (x - 1)(x + 1)(x - 3)(x^2 - 5) , obtemos:
Então, temos:

Passo 6

Agora, vamos encontrar as raízes de x^2 = 5 Rightarrow x = pmraiz5 :
Essas são raízes reais irracionais.

Resposta

O polinômio x = 1, x = -1, x = 3, x = raiz5, x = -raiz5 possui cinco raízes reais:

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