Enumere (calcular quantas e de que tipo são) as raízes dos seguintes polinômios:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um polinômio de 4ª grau: . Nosso objetivo aqui é descobrir quantas raízes ele tem e de que tipo são essas raízes. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra, como teoremas sobre raízes de polinômios e análise de sinais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um polinômio de 4ª grau pode ter até 4 raízes, que podem ser reais ou complexas. Pelo Teorema Fundamental da Álgebra, sabemos que ele terá exatamente 4 raízes, contando multiplicidades.

Passo 3

Agora, para descobrir quantas dessas raízes são reais, vamos usar o Teorema de Descartes para estimar o número de raízes positivas e negativas.
Para raízes positivas, analisamos as mudanças de sinal em :
As mudanças de sinal são:
  • De para : 1 mudança
  • De para : 2 mudanças
  • De para : sem mudança
  • De para : sem mudança
Total de 2 mudanças de sinal, o que indica que há 2 ou 0 raízes positivas.

Passo 4

Para raízes negativas, analisamos as mudanças de sinal em :
As mudanças de sinal são:
  • De para : sem mudança
  • De para : sem mudança
  • De para : 1 mudança
  • De para : 2 mudanças
Total de 2 mudanças de sinal, indicando que há 2 ou 0 raízes negativas.

Passo 5

Dado que o polinômio é de 4ª grau, e usamos o Teorema de Descartes, podemos ter algumas combinações:
  • 2 positivas e 2 negativas
  • 2 positivas e 0 negativas
  • 0 positivas e 2 negativas
  • 0 positivas e 0 negativas
Vamos precisar investigar mais para determinar qual dessas é a realidade.

Passo 6

Vamos tentar encontrar possíveis raízes reais usando o Teorema das Raízes Racionais, que nos diz que possíveis raízes racionais são fatores do termo constante divididos pelos fatores do coeficiente líder.
Para , o termo constante é 43 e o coeficiente líder é 1. Então, possíveis raízes racionais são .
Vamos testar :
Vamos testar :
Vamos testar :
[ p(43) ) será um número muito grande, claramente não será zero.
Portanto, não há raízes racionais.

Passo 7

Como não encontramos raízes racionais, é provável que as raízes reais sejam irracionais ou que todas as raízes sejam complexas. Vamos usar o Método de Derivação para verificar a presença de máximos e mínimos, o que pode nos ajudar a entender o comportamento do polinômio.
A derivada de é:
Analisando , percebemos que a equação derivada também não é fácil de resolver, indicando que estamos lidando com raízes complexas.

Passo 8

Considerando que o polinômio não tem raízes racionais e a análise sugere que pode não ter raízes reais, concluímos que todas as raízes são complexas. Como o polinômio tem coeficientes reais, as raízes complexas viram pares conjugados.

Resposta

O polinômio possui 4 raízes complexas, formadas por 2 pares de raízes conjugadas.

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Separe as raízes de .
Enumere, localize e separe as raízes reais das equações abaixo. Em seguida utilize o método do ponto fixo para encontrar, caso exista, uma raiz real negativa e o método de Newton-Raphson para encontrar, caso exista, uma raiz real positiva destas equações. Nos métodos iterativos, trabalhe com arredondamento para 3 casas decimais e utilize o critério de parada , onde corresponde à -ésima aproximação para o valor da raiz.