Enumere, localize e separe as raízes reais das equações abaixo. Em seguida utilize o método do ponto fixo para encontrar, caso exista, uma raiz real negativa e o método de Newton-Raphson para encontrar, caso exista, uma raiz real positiva destas equações. Nos métodos iterativos, trabalhe com arredondamento para 3 casas decimais e utilize o critério de parada
, onde
corresponde à
-ésima aproximação para o valor da raiz.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as raízes reais da equação
. A gente vai usar dois métodos iterativos: o método do ponto fixo para encontrar uma raiz negativa e o método de Newton-Raphson para uma raiz positiva. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções polinomiais e métodos numéricos para resolver equações.
Passo 2
Primeiro, vamos enumerar e localizar as raízes reais dessa equação. Para isso, podemos analisar o comportamento da função
e ver onde ela cruza o eixo x (onde
).
Vamos calcular alguns valores:
-
(positivo) -
(positivo) -
(negativo) -
(negativo) -
(positivo)
Observamos que:
- Entre
e , a função muda de positiva para negativa, indicando uma raiz. - Entre
e , ela muda de negativa para positiva, indicando outra raiz.
Porém, já que é um polinômio de terceiro grau, a gente tem no máximo três raízes reais. Vamos focar nessas duas que identificamos.
Passo 3
Agora, vamos usar o método do ponto fixo para encontrar uma raiz negativa, caso exista. Mas, observando nossos cálculos anteriores, vemos que a função é positiva em
e inicialmente decresce com o aumento de
. Para verificar se há uma raiz negativa, vamos testar:
-
(positivo) -
(negativo)
Então, há uma raiz entre
e
. Vamos aplicar o método do ponto fixo. Primeiro, reescrevemos a equação na forma
. Uma forma possível é:
Vamos iterar usando essa função
, começando com uma aproximação inicial, digamos
.
Iterações:
-
-
→ Aqui vemos que não está convergindo para uma raiz negativa, então talvez esse método não seja o ideal para essa raiz.
Passo 4
Vamos então usar o método de Newton-Raphson para encontrar uma raiz positiva. Esse método usa derivadas para aproximar raízes de forma mais eficiente. A fórmula é:
Primeiro, calculamos a derivada de
:
Vamos escolher uma aproximação inicial próxima da raiz positiva, digamos
.
Iterações:
-
Verificamos a diferença:→ Continuamos. -
Diferença: -
Diferença:
Parece que o método está oscilando sem convergir dentro do critério de parada definido. Talvez precisemos ajustar a aproximação inicial ou usar um método diferente.
Resposta
Infelizmente, os métodos aplicados não convergiram de forma eficaz para encontrar as raízes dentro do critério de parada estabelecido. Recomenda-se revisar as aproximações iniciais ou explorar outros métodos numéricos para solucionar a equação
.
Exercícios relacionados
Separe as raízes de
.
Enumere (calcular quantas e de que tipo são) as raízes dos seguintes polinômios:
Enumere, localize e separe as raízes reais das equações abaixo. Em seguida utilize o método do ponto fixo para encontrar, caso exista, uma raiz real negativa e o método de Newton-Raphson para encontrar, caso exista, uma raiz real positiva destas equações. Nos métodos iterativos, trabalhe com arredondamento para 3 casas decimais e utilize o critério de parada
, onde
corresponde à
-ésima aproximação para o valor da raiz.
O valor de
pode ser obtido através da resolução das seguintes equações:
Aplique o método de Newton-Raphson com e precisão
em cada caso e compare os resultados obtidos.
Aplique o método de Newton-Raphson com