Enumere, localize e separe as raízes reais das equações abaixo. Em seguida utilize o método do ponto fixo para encontrar, caso exista, uma raiz real negativa e o método de Newton-Raphson para encontrar, caso exista, uma raiz real positiva destas equações. Nos métodos iterativos, trabalhe com arredondamento para 3 casas decimais e utilize o critério de parada , onde corresponde à -ésima aproximação para o valor da raiz.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as raízes reais da equação . A gente vai usar dois métodos iterativos: o método do ponto fixo para encontrar uma raiz negativa e o método de Newton-Raphson para uma raiz positiva. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções polinomiais e métodos numéricos para resolver equações.

Passo 2

Primeiro, vamos enumerar e localizar as raízes reais dessa equação. Para isso, podemos analisar o comportamento da função e ver onde ela cruza o eixo x (onde ).
Vamos calcular alguns valores:
  • (positivo)
  • (positivo)
  • (negativo)
  • (negativo)
  • (positivo)
Observamos que:
  • Entre e , a função muda de positiva para negativa, indicando uma raiz.
  • Entre e , ela muda de negativa para positiva, indicando outra raiz.
Porém, já que é um polinômio de terceiro grau, a gente tem no máximo três raízes reais. Vamos focar nessas duas que identificamos.

Passo 3

Agora, vamos usar o método do ponto fixo para encontrar uma raiz negativa, caso exista. Mas, observando nossos cálculos anteriores, vemos que a função é positiva em e inicialmente decresce com o aumento de . Para verificar se há uma raiz negativa, vamos testar:
  • (positivo)
  • (negativo)
Então, há uma raiz entre e . Vamos aplicar o método do ponto fixo. Primeiro, reescrevemos a equação na forma . Uma forma possível é:
Vamos iterar usando essa função , começando com uma aproximação inicial, digamos .
Iterações:
  1. → Aqui vemos que não está convergindo para uma raiz negativa, então talvez esse método não seja o ideal para essa raiz.

Passo 4

Vamos então usar o método de Newton-Raphson para encontrar uma raiz positiva. Esse método usa derivadas para aproximar raízes de forma mais eficiente. A fórmula é:
Primeiro, calculamos a derivada de :
Vamos escolher uma aproximação inicial próxima da raiz positiva, digamos .
Iterações:


  1. Verificamos a diferença: → Continuamos.


  2. Diferença:


  3. Diferença:
Parece que o método está oscilando sem convergir dentro do critério de parada definido. Talvez precisemos ajustar a aproximação inicial ou usar um método diferente.

Resposta

Infelizmente, os métodos aplicados não convergiram de forma eficaz para encontrar as raízes dentro do critério de parada estabelecido. Recomenda-se revisar as aproximações iniciais ou explorar outros métodos numéricos para solucionar a equação .

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Separe as raízes de .
Enumere (calcular quantas e de que tipo são) as raízes dos seguintes polinômios:
Enumere, localize e separe as raízes reais das equações abaixo. Em seguida utilize o método do ponto fixo para encontrar, caso exista, uma raiz real negativa e o método de Newton-Raphson para encontrar, caso exista, uma raiz real positiva destas equações. Nos métodos iterativos, trabalhe com arredondamento para 3 casas decimais e utilize o critério de parada , onde corresponde à -ésima aproximação para o valor da raiz.
O valor de pode ser obtido através da resolução das seguintes equações:

Aplique o método de Newton-Raphson com e precisão em cada caso e compare os resultados obtidos.