Separe as raízes de p(x)=x^3-9 x^2+20 x+1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de encontrar as raízes do polinômio . Aqui, estamos trabalhando com polinômios e queremos descobrir os valores de que fazem . Para isso, vamos precisar usar alguns métodos de álgebra para encontrar as raízes desse polinômio.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar encontrar raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. Esse teorema sugere que possíveis raízes racionais são as frações formadas pelos divisores do termo livre (neste caso, 1) sobre os divisores do coeficiente líder (neste caso, 1). Portanto, os candidatos a raízes racionais são .

Passo 3

Vamos testar esses possíveis valores substituindo na equação:
  • Para p(1) = 1^3 - 9 times 1^2 + 20 times 1 + 1 = 1 - 9 + 20 + 1 = 13 neq 0 : p(-1) = (-1)^3 - 9 times (-1)^2 + 20 times (-1) + 1 = -1 - 9 - 20 + 1 = -29 neq 0
  • Para :
Como nenhum desses valores satisfaz , não temos raízes racionais.

Passo 4

Sem raízes racionais, vamos precisar usar outros métodos para encontrar as raízes. Vamos transformar o polin��mio em uma forma mais simples usando uma substituição linear. Vamos definir , onde é um valor que simplifica o polinômio. Geralmente, escolhemos , onde é o coeficiente de .
Neste caso, . Então, definimos .

Passo 5

Substituindo p(t + 3) = (t + 3)^3 - 9(t + 3)^2 + 20(t + 3) + 1 no polinômio:
(t + 3)^3 = t^3 + 9t^2 + 27t + 27
Vamos expandir cada termo:
-9(t + 3)^2 = -9(t^2 + 6t + 9) = -9t^2 - 54t - 81
20(t + 3) = 20t + 60
t^3 + 9t^2 + 27t + 27 - 9t^2 - 54t - 81 + 20t + 60 + 1 = t^3 - 7t + 7
Agora, somando tudo:
t^3 - 7t + 7 = 0
Então, o polinômio simplificado é:

Passo 6

Agora, temos a equação cúbica simplificada t = raiz[3]-q2 + raiz(q2)^2 + (p3)^3 + raiz[3]-q2 - raiz(q2)^2 + (p3)^3 . Para resolver essa equação, vamos usar a fórmula de Cardano, que é um método para encontrar raízes de equações cúbicas.
A fórmula geral para uma equação da forma é:
No nosso caso, e .

Passo 7

Calculando o discriminante De:
De
Como o discriminante é negativo, sabemos que a equação tem três raízes reais.

Passo 8

Para resolver quando o discriminante é negativo, usamos a forma trigonométrica das raízes. As raízes são dadas por:
tk = 2raiz-p3 cos(arccos(-q2 raiz-27p^3) - 2pi k3), k = 0, 1, 2
Substituindo tk = 2raiz73 cos(arccos(-72 raiz27343) - 2pi k3) e raiz73 = raiz213 :
-72 times raiz27343 = -72 times 3raiz37 = -3raiz32
Simplificando:
Agora, podemos calcular o ângulo e, finalmente, as raízes .

Passo 9

Ap��s calcular para , obtemos as três raízes reais de . Lembrando que , precisamos somar 3 a cada raiz encontrada para obter as raízes de .

Resposta

As raízes do polinômio x approx 0.107, x approx 3.433, x approx 5.460 são:

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