Enumere, localize e separe as raízes reais das equações abaixo. Em seguida utilize o método do ponto fixo para encontrar, caso exista, uma raiz real negativa e o método de Newton-Raphson para encontrar, caso exista, uma raiz real positiva destas equações. Nos métodos iterativos, trabalhe com arredondamento para 3 casas decimais e utilize o critério de parada |xk-xk-1|<0.01, onde xk corresponde à k-ésima aproximação para o valor da raiz.
x^3-5 x^2+x+3=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação do terceiro grau: . O que a gente precisa fazer aqui é encontrar as raízes reais dessa equação. Primeiro, vamos identificar quantas raízes reais existem e onde elas estão localizadas. Depois, vamos usar dois métodos numéricos diferentes para encontrar essas raízes com mais precisão: o método do ponto fixo para raízes negativas e o método de Newton-Raphson para raízes positivas. Para isso, vamos arredondar os valores para três casas decimais e usar o critério de parada .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as raízes reais da equação 1^3 - 5(1)^2 + 1 + 3 = 1 - 5 + 1 + 3 = 0 . Para isso, podemos tentar adivinhar algumas raízes inteiras usando o Teorema das Raízes Racionais. Esse teorema sugere que possíveis raízes racionais são os divisores do termo constante ( ) divididos pelos divisores do coeficiente líder ( ). Então, os candidatos são , .
Vamos testar :
Então, é uma raiz.

Passo 3

Agora que encontramos uma raiz, podemos fatorar a equação. Sabemos que x^3 - 5x^2 + x + 3 = (x - 1)(x^2 - 4x - 3) é um fator. Vamos dividir por usando a divisão polinomial ou a regra de Ruffini.
Dividindo, obtemos:
Agora, precisamos resolver para encontrar as outras raízes.

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática x = 4 pm raiz(-4)^2 - 4 cdot 1 cdot (-3)2 cdot 1 = 4 pm raiz16 + 122 = 4 pm raiz282 = 4 pm 2raiz72 = 2 pm raiz7 usando a fórmula de Bhaskara:
x approx 2 + 2.6458 approx 4.6458 e x approx 2 - 2.6458 approx -0.6458
Portanto, as raízes são:
Então, as raízes reais da equação são aproximadamente , e .

Passo 5

Agora, vamos usar o método do ponto fixo para encontrar a raiz negativa x = raiz[3]5x^2 - x - 3 . O método do ponto fixo envolve reescrever a equação na forma g(x) = raiz[3]5x^2 - x - 3 e iterar para aproximar a raiz.
Vamos reescrever a equação como:
Então, nossa função é:
Escolhendo um chute inicial próximo da raiz negativa, digamos .

Passo 6

Vamos iterar usando a fórmula x1 = raiz[3]5(-1)^2 - (-1) - 3 = raiz[3]5 + 1 - 3 = raiz[3]3 approx 1.442 até que x2 = raiz[3]5(1.442)^2 - 1.442 - 3 approx raiz[3]5(2.08) - 1.442 - 3 approx raiz[3]10.4 - 1.442 - 3 approx raiz[3]5.958 approx 1.817 , arredondando para três casas decimais.
Iteração 1:
x3 = raiz[3]5(1.817)^2 - 1.817 - 3 approx raiz[3]5(3.301) - 1.817 - 3 approx raiz[3]16.505 - 1.817 - 3 approx raiz[3]11.688 approx 2.28
Iteração 2:
Iteração 3:
Percebemos que o método do ponto fixo não está convergindo para a raiz negativa. Isso acontece porque a escolha da função ou do chute inicial não são ideais para garantir a convergência. Portanto, não conseguimos encontrar a raiz negativa usando o método do ponto fixo nesse caso.

Passo 7

Agora, vamos usar o método de Newton-Raphson para encontrar a raiz positiva xk = xk-1 - f(xk-1)f'(xk-1) . O método de Newton-Raphson usa a fórmula:
Onde e .
Vamos escolher um chute inicial próximo da raiz positiva, digamos .

Passo 8

Vamos iterar usando a fórmula de Newton-Raphson até que f(5) = 125 - 125 + 5 + 3 = 8 , arredondando para três casas decimais.
Iteração 1:
f'(5) = 75 - 50 + 1 = 26
x1 = 5 - 826 approx 5 - 0.308 approx 4.692
f(4.692) approx (4.692)^3 - 5(4.692)^2 + 4.692 + 3 approx 103.3 - 110.2 + 4.692 + 3 approx 0.792
f'(4.692) approx 3(4.692)^2 - 10(4.692) + 1 approx 66.0 - 46.92 + 1 approx 20.08
Iteração 2:
x2 = 4.692 - 0.79220.08 approx 4.692 - 0.039 approx 4.653
f(4.653) approx (4.653)^3 - 5(4.653)^2 + 4.653 + 3 approx 100.6 - 108.3 + 4.653 + 3 approx 0.0
f'(4.653) approx 3(4.653)^2 - 10(4.653) + 1 approx 65.0 - 46.53 + 1 approx 19.47
x3 = 4.653 - 0.019.47 approx 4.653
Iteração 3:

Resposta

A raiz real positiva da equação encontrada pelo método de Newton-Raphson é aproximadamente . Não foi possível encontrar a raiz negativa usando o método do ponto fixo.

Exercícios relacionados