Enumere, localize e separe as raízes reais das equações abaixo. Em seguida utilize o método do ponto fixo para encontrar, caso exista, uma raiz real negativa e o método de Newton-Raphson para encontrar, caso exista, uma raiz real positiva destas equações. Nos métodos iterativos, trabalhe com arredondamento para 3 casas decimais e utilize o critério de parada
, onde
corresponde à
-ésima aproximação para o valor da raiz.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação do terceiro grau:
. O que a gente precisa fazer aqui é encontrar as raízes reais dessa equação. Primeiro, vamos identificar quantas raízes reais existem e onde elas estão localizadas. Depois, vamos usar dois métodos numéricos diferentes para encontrar essas raízes com mais precisão: o método do ponto fixo para raízes negativas e o método de Newton-Raphson para raízes positivas. Para isso, vamos arredondar os valores para três casas decimais e usar o critério de parada
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as raízes reais da equação
. Para isso, podemos tentar adivinhar algumas raízes inteiras usando o Teorema das Raízes Racionais. Esse teorema sugere que possíveis raízes racionais são os divisores do termo constante (
) divididos pelos divisores do coeficiente líder (
). Então, os candidatos são
,
.
Vamos testar
:
Então,
é uma raiz.
Passo 3
Agora que encontramos uma raiz, podemos fatorar a equação. Sabemos que
é um fator. Vamos dividir
por
usando a divisão polinomial ou a regra de Ruffini.
Dividindo, obtemos:
Agora, precisamos resolver
para encontrar as outras raízes.
Passo 4
Vamos resolver a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, as raízes são:
Então, as raízes reais da equação são aproximadamente
,
e
.
Passo 5
Agora, vamos usar o método do ponto fixo para encontrar a raiz negativa
. O método do ponto fixo envolve reescrever a equação na forma
e iterar para aproximar a raiz.
Vamos reescrever a equação
como:
Então, nossa função
é:
Escolhendo um chute inicial próximo da raiz negativa, digamos
.
Passo 6
Vamos iterar usando a fórmula
até que
, arredondando para três casas decimais.
Iteração 1:
Iteração 2:
Iteração 3:
Percebemos que o método do ponto fixo não está convergindo para a raiz negativa. Isso acontece porque a escolha da função
ou do chute inicial não são ideais para garantir a convergência. Portanto, não conseguimos encontrar a raiz negativa usando o método do ponto fixo nesse caso.
Passo 7
Agora, vamos usar o método de Newton-Raphson para encontrar a raiz positiva
. O método de Newton-Raphson usa a fórmula:
Onde
e
.
Vamos escolher um chute inicial próximo da raiz positiva, digamos
.
Passo 8
Vamos iterar usando a fórmula de Newton-Raphson até que
, arredondando para três casas decimais.
Iteração 1:
Iteração 2:
Iteração 3:
Resposta
A raiz real positiva da equação
encontrada pelo método de Newton-Raphson é aproximadamente
. Não foi possível encontrar a raiz negativa usando o método do ponto fixo.