Enumere, localize e separe as raízes dos seguintes polinômios: p(x)=x^4-14 x^2+24 x-10

Passo 1

Beleza, então a gente tem que trabalhar com o polinômio . O objetivo aqui é enumerar, localizar e separar as raízes desse polinômio. Isso significa que vamos listar todas as soluções para , descobrir onde elas estão no eixo dos números reais ou complexos, e separar cada uma delas.
Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de álgebra, especialmente sobre polinômios e raízes. Vamos precisar identificar possíveis raízes racionais, aplicar o Teorema das Raízes Racionais, fatorar o polinômio e, se necessário, usar a fórmula de Bhaskara para resolver equações quadráticas.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar encontrar raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais, que nos diz que as possíveis raízes racionais de um polinômio com coeficientes inteiros são as frações formadas pelos divisores do termo constante sobre os divisores do coeficiente líder.
No nosso caso, o termo constante é pm1, pm2, pm5, pm10 e o coeficiente líder é p(1) = 1 - 14 + 24 - 10 = 1 . Então, as possíveis raízes racionais são:
p(2) = 16 - 56 + 48 - 10 = -2
Vamos testar essas opções substituindo na equação p(5) = 625 - 350 + 120 - 10 = 385 .
Vamos começar com p(-1) = 1 - 14 - 24 - 10 = -47 :
Não é zero.
Agora, :
Também não funciona.
Vamos tentar :
Ainda não é zero.
E :
Não é raiz.
Parece que nenhuma dessas raízes racionais funciona. Então, vamos tentar fatorar o polinômio de outra maneira.

Passo 3

Vamos tentar reescrever o polinômio de uma forma que facilite a fatoração. Observamos que ele é do quarto grau, então podemos tentar fatorar por agrupamento ou verificar se é um quadrado perfeito.
O polinômio é:
p(x) = x^4 - 14x^2 + 24x - 10
Vamos reescrever:
p(x) = x^4 - 14x^2 + 24x - 10
Podemos tentar dividir o polinômio por um polinômio quadrático genérico e encontrar e que funcionem, mas isso pode ser um pouco trabalhoso. Outra abordagem é usar a fórmula resolvente para polinômios de quarto grau, mas também é complexa.
Então, vamos tentar uma abordagem numérica para localizar as raízes.

Passo 4

Vamos analisar o comportamento do polinômio para valores diversos de para identificar onde as raízes podem estar localizadas.
Calculando para alguns valores:
Observamos que o polinômio muda de sinal entre e , e entre e , indicando que há raízes nesse intervalo. Também entre e .
Isso sugere que há pelo menos duas raízes reais nesses intervalos.

Passo 5

Para encontrar valores mais precisos das raízes, podemos usar o método de tentativa e erro ou o método da bissecção.
Vamos usar tentativa e erro para estimar as raízes:
  1. Entre p(0.5) = 0.0625 - 14(0.25) + 24(0.5) - 10 = 0.0625 - 3.5 + 12 - 10 = -1.4375 e p(2.5) = 39.0625 - 14(6.25) + 24(2.5) - 10 = 39.0625 - 87.5 + 60 - 10 = 1.5625 :
    • :
    • Como e , a raiz está entre 0.5 e 1.
  2. Entre e :
    • Já sabemos que e , então há uma raiz entre 1 e 2.
  3. Entre e :
    • :
    • Como e , a raiz está entre 2 e 2.5.
Continuando esse processo, podemos refinar ainda mais a localização das raízes.

Passo 6

Até agora, identificamos que há pelo menos três raízes reais nos seguintes intervalos:
  1. Entre e
  2. Entre e
  3. Entre e
Como o polinômio é de quarto grau, sabemos que podem haver até quatro raízes. Vamos analisar o gráfico e a natureza das raízes para determinar se há raízes complexas.
Como encontramos três raízes reais, é provável que haja uma quarta raiz real ou uma raiz dupla. Vamos verificar calculando a derivada para identificar possíveis pontos de máximo ou mínimo que possam indicar mais raízes.

Passo 7

Calculando a derivada de p'(x) = 4x^3 - 28x + 24 :
4x^3 - 28x + 24 = 0
Resolvendo x^3 - 7x + 6 = 0 :
1 - 7 + 6 = 0
Dividindo por 4:
(x - 1)(x^2 + x - 6) = 0
Tentando encontrar raízes racionais para essa equação:
Possíveis raízes: x = -1 pm raiz1 + 242 = -1 pm 52
Testando :
Então, é uma raiz.
Então, podemos fatorar:
Resolvendo pela fórmula de Bhaskara:
Então, e
Portanto, os pontos críticos estão em .
Analisando novamente o polinômio, percebemos que pode haver três raízes reais e uma raiz complexa.

Resposta

As raízes do polinômio são:
  1. Uma raiz real entre e
  2. Uma raiz real entre e
  3. Uma raiz real entre e
  4. Uma raiz complexa

Exercícios relacionados

Enumere, localize e separe as raízes dos seguintes polinômios: p(x)=3 x^3-4 x^2-5 x+1
Enumere, localize e separe as raízes dos seguintes polinômios: p(x)=x^5+x^4-8 x^3-16 x^2+7 x+15
Enumere, localize e separe as raízes dos seguintes polinômios: p(x)=x^3-9 x^2+20 x+1
Enumere, localize e separe as raízes dos seguintes polinômios: p(x)=4 x^3+1.5 x^2-5.75 x+4.37