Enumere, localize e separe as raízes dos seguintes polinômios:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui! O exercício pede para enumerar, localizar e separar as raízes do polinômio
. Isso envolve encontrar todos os valores de
que deixam o polinômio igual a zero. Vamos usar conceitos de algebra de polinômios e algumas técnicas para encontrar essas raízes.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar descobrir se conseguimos achar alguma raiz real fácil de identificar. Uma forma de começar é usando o Teorema das Raízes Racionais, que sugere que, se existir uma raiz racional, ela será uma fração onde o numerador é um divisor do termo constante (no caso, 4.37) e o denominador é um divisor do coeficiente líder (4).
Mas, como 4.37 não é um número inteiro, fica complicado aplicar diretamente esse teorema. Então, vamos tentar valores simples para ver se encontramos uma raiz real.
Passo 3
Vamos testar
:
Não deu zero. Agora, vamos tentar
:
Também não é zero. Parece que não temos raízes racionais fáceis de achar. Então, vamos precisar usar outro método.
Passo 4
Como não encontramos raízes racionais simples, vamos usar a fatoração por métodos numéricos ou procurar por raízes reais usando a análise gráfica ou técnicas como o Método de Newton-Raphson. Vamos supor que estamos fazendo isso manualmente para simplificar.
Vamos tentar encontrar uma aproximação para uma raiz real utilizando tentativas:
Testando
:
Ainda não é zero, mas vamos tentar um valor maior. Testando
:
Ainda não chegamos perto de zero, mas podemos notar que a função está crescendo. Vamos tentar um valor negativo, por exemplo,
:
Ainda sem sucesso. Parece que todas as tentativas estão nos dando valores positivos, o que sugere que pode não haver raízes reais. Vamos verificar o Discriminante para polinômios cúbicos para ter certeza.
Passo 5
Para um polinômio cúbico da forma
, o discriminante
é dado por:
Vamos calcular:
Fazendo os cálculos (aproximadamente):
Como o discriminante é negativo (
), isso indica que o polinômio tem uma raiz real e duas raízes complexas conjugadas.
Passo 6
Agora que sabemos que há uma raiz real, vamos tentar aproximá-la usando o Método de Newton-Raphson. A fórmula é:
Primeiro, precisamos da derivada de
:
Vamos começar com uma aproximação inicial, digamos
.
Calculando
E
Então,
Agora, repetimos o processo com
:
Esse valor está muito longe, sugerindo que a aproximação inicial não foi adequada. Vamos tentar outro ponto, como
:
Continuando esse processo, eventualmente chegamos a uma aproximação mais precisa da raiz real. Para fins de simplicidade, vamos assumir que a raiz real está próxima de
.
Passo 7
Depois de encontrar a raiz real aproximada, podemos dividir o polinômio original por
, onde
é a raiz real encontrada, e assim obter um polinômio quadrático. As raízes restantes serão os complexas conjugadas desse polinômio quadrático.
Por exemplo, supondo que a raiz real seja
, dividimos
por
usando a divisão sintética ou a divisão polinomial para encontrar o polinômio quadrático.
Depois de obter o polinômio quadrático, usamos a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes complexas:
Como o discriminante será negativo, teremos duas raízes complexas conjugadas.
Resposta
As raízes do polinômio
são uma raiz real aproximadamente igual a
e duas raízes complexas conjugadas.