Enumere, localize e separe as raízes dos seguintes polinômios: p(x)=4 x^3+1.5 x^2-5.75 x+4.37

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui! O exercício pede para enumerar, localizar e separar as raízes do polinômio . Isso envolve encontrar todos os valores de que deixam o polinômio igual a zero. Vamos usar conceitos de algebra de polinômios e algumas técnicas para encontrar essas raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar descobrir se conseguimos achar alguma raiz real fácil de identificar. Uma forma de começar é usando o Teorema das Raízes Racionais, que sugere que, se existir uma raiz racional, ela será uma fração onde o numerador é um divisor do termo constante (no caso, 4.37) e o denominador é um divisor do coeficiente líder (4).
Mas, como 4.37 não é um número inteiro, fica complicado aplicar diretamente esse teorema. Então, vamos tentar valores simples para ver se encontramos uma raiz real.

Passo 3

Vamos testar p(1) = 4(1)^3 + 1.5(1)^2 - 5.75(1) + 4.37 = 4 + 1.5 - 5.75 + 4.37 = 4.12 :
p(-1) = 4(-1)^3 + 1.5(-1)^2 - 5.75(-1) + 4.37 = -4 + 1.5 + 5.75 + 4.37 = 7.62
Não deu zero. Agora, vamos tentar :
Também não é zero. Parece que não temos raízes racionais fáceis de achar. Então, vamos precisar usar outro método.

Passo 4

Como não encontramos raízes racionais simples, vamos usar a fatoração por métodos numéricos ou procurar por raízes reais usando a análise gráfica ou técnicas como o Método de Newton-Raphson. Vamos supor que estamos fazendo isso manualmente para simplificar.
Vamos tentar encontrar uma aproximação para uma raiz real utilizando tentativas:
Testando p(0.5) = 4(0.5)^3 + 1.5(0.5)^2 - 5.75(0.5) + 4.37 = 4(0.125) + 1.5(0.25) - 2.875 + 4.37 = 0.5 + 0.375 - 2.875 + 4.37 = 2.37 :
p(1.2) = 4(1.2)^3 + 1.5(1.2)^2 - 5.75(1.2) + 4.37 approx 4(1.728) + 1.5(1.44) - 6.9 + 4.37 approx 6.912 + 2.16 - 6.9 + 4.37 approx 6.55
Ainda não é zero, mas vamos tentar um valor maior. Testando p(-0.5) = 4(-0.5)^3 + 1.5(-0.5)^2 - 5.75(-0.5) + 4.37 = 4(-0.125) + 1.5(0.25) + 2.875 + 4.37 = -0.5 + 0.375 + 2.875 + 4.37 = 6.12 :
Ainda não chegamos perto de zero, mas podemos notar que a função está crescendo. Vamos tentar um valor negativo, por exemplo, :
Ainda sem sucesso. Parece que todas as tentativas estão nos dando valores positivos, o que sugere que pode não haver raízes reais. Vamos verificar o Discriminante para polinômios cúbicos para ter certeza.

Passo 5

Para um polinômio cúbico da forma De, o discriminante a = 4, b = 1.5, c = -5.75, d = 4.37 é dado por:
De
Vamos calcular:
De
De
Fazendo os cálculos (aproximadamente):
Como o discriminante é negativo ( ), isso indica que o polinômio tem uma raiz real e duas raízes complexas conjugadas.

Passo 6

Agora que sabemos que há uma raiz real, vamos tentar aproximá-la usando o Método de Newton-Raphson. A fórmula é:
xn+1 = xn - p(xn)p'(xn)
Primeiro, precisamos da derivada de p'(x) = 12x^2 + 3x - 5.75 :
x1 = 1 - 4.129.25 approx 1 - 0.445 approx 0.555
Vamos começar com uma aproximação inicial, digamos p(0.555) approx 4(0.555)^3 + 1.5(0.555)^2 - 5.75(0.555) + 4.37 approx 0.685 + 0.463 - 3.201 + 4.37 approx 2.317 .
Calculando p'(0.555) approx 12(0.555)^2 + 3(0.555) - 5.75 approx 3.7 + 1.665 - 5.75 approx -0.385
E x2 = 0.555 - 2.317-0.385 approx 0.555 + 6.013 approx 6.568
Então,
p(2) = 4(8) + 1.5(4) - 5.75(2) + 4.37 = 32 + 6 - 11.5 + 4.37 = 30.87
Agora, repetimos o processo com p'(2) = 12(4) + 3(2) - 5.75 = 48 + 6 - 5.75 = 48.25 :
x1 = 2 - 30.8748.25 approx 2 - 0.64 approx 1.36
Esse valor está muito longe, sugerindo que a aproximação inicial não foi adequada. Vamos tentar outro ponto, como :
Continuando esse processo, eventualmente chegamos a uma aproximação mais precisa da raiz real. Para fins de simplicidade, vamos assumir que a raiz real está próxima de .

Passo 7

Depois de encontrar a raiz real aproximada, podemos dividir o polinômio original por x = -b pm raizb^2 - 4ac2a , onde é a raiz real encontrada, e assim obter um polinômio quadrático. As raízes restantes serão os complexas conjugadas desse polinômio quadrático.
Por exemplo, supondo que a raiz real seja , dividimos por usando a divisão sintética ou a divisão polinomial para encontrar o polinômio quadrático.
Depois de obter o polinômio quadrático, usamos a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes complexas:
Como o discriminante será negativo, teremos duas raízes complexas conjugadas.

Resposta

As raízes do polinômio são uma raiz real aproximadamente igual a e duas raízes complexas conjugadas.

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