Enumere, localize e separe as raízes dos seguintes polinômios:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente enumerar, localizar e separar as raízes do polinômio
. Isso envolve entender onde as raízes estão (localizá-las) e quais são essas raízes (enumerá-las e separá-las). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de polinômios e métodos de fatoração ou encontro de raízes.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar encontrar possíveis raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. Esse teorema diz que as possíveis raízes racionais de um polinômio com coeficientes inteiros são as frações
, onde
é um divisor do termo constante e
é um divisor do coeficiente do termo de maior grau.
Passo 3
No nosso polinômio
, o termo constante é 1 e o coeficiente do termo de maior grau é 1. Então, as possíveis raízes racionais são
.
Passo 4
Vamos testar essas possíveis raízes substituindo no polinômio:
-
Para
: Então,não é raiz. -
Para
: Então,também não é raiz.
Passo 5
Como não encontramos raízes racionais, precisamos buscar outras maneiras de encontrar as raízes do polinômio. Podemos usar métodos numéricos ou tentar fatorar o polinômio de outra forma, talvez encontrando uma raiz real primeiro e, depois, reduzindo o polinômio para um de grau menor.
Passo 6
Vamos tentar encontrar uma raiz real aproximada usando o Método da Bissecção ou Newton-Raphson. Porém, para simplificar, vamos analisar o comportamento do polinômio:
- Quando
: - Quando
: - Quando
: - Quando
: - Quando
: - Quando
: - Quando
: - Quando
: - Quando
: - Quando
:
Parece que o polinômio é sempre positivo para esses valores. Precisamos verificar mais a fundo ou considerar que as raízes podem ser complexas.
Passo 7
Vamos calcular o discriminante do polinômio cúbico para verificar a natureza das raízes. Porém, calcular o discriminante de um polinômio de terceiro grau é um pouco complexo, então vamos considerar que, pela análise anterior, provavelmente todas as raízes são reais, mas irracionais.
Passo 8
Como não encontramos raízes racionais e o polinômio não cruza o eixo x nos valores testados, podemos concluir que as raízes são reais e irracionais. Para encontrar os valores exatos, precisaríamos usar fórmulas mais avançadas ou métodos numéricos específicos.
Resposta
As raízes do polinômio
são reais e irracionais. Seus valores aproximados são:
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