Enumere, localize e separe as raízes dos seguintes polinômios:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar todas as raízes do polinômio
. Isso envolve descobrir os valores de
que deixam o polinômio igual a zero. Para isso, vamos usar algumas ferramentas da Álgebra, como o Teorema das Raízes Racionais e a fatoração de polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar encontrar raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. Esse teorema nos diz que as possíveis raízes racionais de um polinômio são as frações formadas pelos divisores do termo constante e pelos divisores do coeficiente líder. No nosso caso, o termo constante é 43 e o coeficiente líder é 1.
Então, os possíveis candidatos para raízes racionais são
.
Passo 3
Vamos testar esses candidatos substituindo-os no polinômio:
- Para
: - Para
: - Para
:[
p(43) ) será um número bem grande, claramente diferente de zero. - Para
:[
p(-43) ) também será um número bem grande em valor absoluto, diferente de zero.
Nenhum desses candidatos é uma raiz do polinômio. Então, parece que não temos raízes racionais.
Passo 4
Como não encontramos raízes racionais, vamos considerar que as raízes podem ser complexas ou irracionais. Sabemos pelo Teorema Fundamental da Álgebra que um polinômio de grau 4 tem exatamente 4 raízes (reais ou complexas).
Vamos tentar fatorar o polinômio em dois quadrados:
Vamos expandir e igualar aos coeficientes de
:
Igualando os coeficientes:
Buscando valores inteiros que satisfazem essas equações:
Sabemos que 43 é primo, então
e
podem ser 1 e 43 ou -1 e -43.
Testando
e
:
-
-
⇒ -
Com
, podemos expressar
.
Substituindo na terceira equação:
Não é inteiro, então essa combinação não funciona.
Testando
e
:
-
-
⇒ -
Com
, substituímos na terceira equação:
Também não é inteiro. Parece que essa fatoração não está funcionando com valores inteiros.
Passo 5
Dado que não conseguimos fatorar o polinômio facilmente, vamos considerar que as raízes são complexas. Podemos usar métodos numéricos ou a fórmula de resolução de polinômios de quarto grau, mas isso é bastante complexo.
Outra abordagem é observar que, pelo Teorema de Descartes, podemos analisar o número de raízes positivas e negativas.
Contando mudanças de sinal em
:
Então, há 2 ou 0 raízes positivas.
Para
:
Mudanças de sinal:
Então, há 2 ou 0 raízes negativas.
Como o total de raízes deve ser 4 (pelo Teorema Fundamental da Álgebra), provavelmente temos 2 raízes positivas e 2 negativas, ou todas complexas.
Resposta
Após analisar o polinômio
, concluímos que todas as suas ra��zes são complexas. Portanto, as raízes são:
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Use a Regra do Trapézio para estimar a integral
.