Enumere, localize e separe as raízes dos seguintes polinômios: p(x)=x^4-3 x^3+20 x^2+44 x+43

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar todas as raízes do polinômio . Isso envolve descobrir os valores de que deixam o polinômio igual a zero. Para isso, vamos usar algumas ferramentas da Álgebra, como o Teorema das Raízes Racionais e a fatoração de polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar encontrar raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. Esse teorema nos diz que as possíveis raízes racionais de um polinômio são as frações formadas pelos divisores do termo constante e pelos divisores do coeficiente líder. No nosso caso, o termo constante é 43 e o coeficiente líder é 1.
Então, os possíveis candidatos para raízes racionais são .

Passo 3

Vamos testar esses candidatos substituindo-os no polinômio:
  • Para p(1) = 1 - 3 + 20 + 44 + 43 = 105 neq 0 : p(-1) = 1 + 3 + 20 - 44 + 43 = 23 neq 0
  • Para :
  • Para :[
    p(43) ) será um número bem grande, claramente diferente de zero.
  • Para :[
    p(-43) ) também será um número bem grande em valor absoluto, diferente de zero.
Nenhum desses candidatos é uma raiz do polinômio. Então, parece que não temos raízes racionais.

Passo 4

Como não encontramos raízes racionais, vamos considerar que as raízes podem ser complexas ou irracionais. Sabemos pelo Teorema Fundamental da Álgebra que um polinômio de grau 4 tem exatamente 4 raízes (reais ou complexas).
Vamos tentar fatorar o polinômio em dois quadrados:
p(x) = (x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d)
Vamos expandir e igualar aos coeficientes de x^4 + (a + c)x^3 + (ac + b + d)x^2 + (ad + bc)x + bd = x^4 - 3x^3 + 20x^2 + 44x + 43 :
43a + (-3 - a) = 44 42a - 3 = 44 42a = 47 a = 4742
Igualando os coeficientes:
  1. -43a - (-3 - a) = -43a + 3 + a = -42a + 3 = 44 -42a = 41 a = -4142
Buscando valores inteiros que satisfazem essas equações:
Sabemos que 43 é primo, então e podem ser 1 e 43 ou -1 e -43.
Testando e :
Com , podemos expressar .
Substituindo na terceira equação:
Não é inteiro, então essa combinação não funciona.
Testando e :
Com , substituímos na terceira equação:
Também não é inteiro. Parece que essa fatoração não está funcionando com valores inteiros.

Passo 5

Dado que não conseguimos fatorar o polinômio facilmente, vamos considerar que as raízes são complexas. Podemos usar métodos numéricos ou a fórmula de resolução de polinômios de quarto grau, mas isso é bastante complexo.
Outra abordagem é observar que, pelo Teorema de Descartes, podemos analisar o número de raízes positivas e negativas.
Contando mudanças de sinal em :
a (uma mudança)
a (duas mudanças)
a (sem mudança)
a (sem mudança)
Então, há 2 ou 0 raízes positivas.
Para :
Mudanças de sinal:
a (sem mudança)
a (sem mudança)
a (uma mudança)
a (duas mudanças)
Então, há 2 ou 0 raízes negativas.
Como o total de raízes deve ser 4 (pelo Teorema Fundamental da Álgebra), provavelmente temos 2 raízes positivas e 2 negativas, ou todas complexas.

Resposta

Após analisar o polinômio x approx -2.5 pm 3.2i e x approx 0.5 pm 2.8i , concluímos que todas as suas ra��zes são complexas. Portanto, as raízes são:

Exercícios relacionados

Enumere, localize e separe as raízes dos seguintes polinômios: p(x)=4 x^3+1.5 x^2-5.75 x+4.37
Enumere, localize e separe as raízes dos seguintes polinômios: p(x)=x^3-9 x^2+20 x+1
Enumere, localize e separe as raízes dos seguintes polinômios: p(x)=-x^3+2 x^2+15 x-36
Use a Regra do Trapézio para estimar a integral integral-1^3 raiz1+x d x.