Enumere, localize e separe as raízes dos seguintes polinômios: p(x)=-x^3+2 x^2+15 x-36

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar as raízes do polinômio . A matéria aqui é Álgebra, mais especificamente sobre polinômios e suas raízes. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema das Raízes Racionais, fatoração de polinômios e a fórmula de Bhaskara para equações quadráticas.

Passo 2

Primeiro, vamos usar o Teorema das Raízes Racionais para encontrar possíveis raízes racionais. Esse teorema diz que qualquer raiz racional de um polinômio com coeficientes inteiros satisfaz que divide o termo independente e divide o coeficiente líder.
No nosso caso, o termo independente é -36 e o coeficiente líder é -1. Então, os possíveis valores para são os divisores de 36: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18, ±36. E pode ser apenas ±1. Portanto, os possíveis candidatos a raízes são esses próprios números.

Passo 3

Agora, vamos testar esses possíveis candidatos substituindo-os na função p(3) = -3^3 + 2 cdot 3^2 + 15 cdot 3 - 36 = -27 + 18 + 45 - 36 = 0 para ver se resultam em zero.
Vamos começar com :
Como , então é uma raiz do polinômio.

Passo 4

Sabendo que p(x) = (x - 3)(-x^2 - x + 12) é uma raiz, podemos fatorar o polinômio dividindo-o por . Vamos fazer isso usando a divisão polinomial ou a regra de Ruffini.
Dividindo por , obtemos:

Passo 5

Agora, temos um polinômio de segundo grau: x^2 + x - 12 = 0 . Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as outras raízes.
Podemos multiplicar a equação por -1 para facilitar:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
De
Onde x = -1 pm raiz492 = -1 pm 72 , x = 62 = 3 , e x = -82 = -4 .
Calculando o discriminante:
Então:
Isso nos dá duas soluções:

Resposta

As raízes do polinômio x = 3 (raiz mú são:
x = -4 ú

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