Resolva o sistema linear abaixo pelo Método de Eliminação de Gauss com aritmética de ponto flutuante com três algarismos significativos:
c x+4 y+52 z=57 27 x+110 y-3 z=134 22 x+2 y+14 z=38

Passo 1

No enunciado, temos um sistema de três equações lineares com três incógnitas (x, y, z). Vamos resolver esse sistema usando o Método de Eliminação de Gauss, que envolve manipulações das equações para simplificar e encontrar os valores das incógnitas. Para isso, utilizaremos a aritmética de ponto flutuante com três algarismos significativos.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações:
c x + 4y + 52z = 57 (Eq1) 27x + 110y - 3z = 134 (Eq2) 22x + 2y + 14z = 38 (Eq3)
Nosso objetivo é eliminar uma incógnita de duas equações para reduzir o sistema a duas equações com duas incógnitas.

Passo 3

Vamos começar eliminando a incógnita 27(x + 4y + 52z) = 27 times 57 27x + 108y + 1404z = 1539 das equações Eq2 e Eq3 usando a Eq1 como pivô.
Para a Eq2:
  • Calculamos o fator de multiplicação: (27x + 110y - 3z) - (27x + 108y + 1404z) = 134 - 1539 0x + 2y - 1407z = -1405 .
  • Multiplicamos a Eq1 por 27: 2.00y - 1.41 times 10^3 z = -1.41 times 10^3 (Eq2')
  • Subtraímos esta equação da Eq2: 22(x + 4y + 52z) = 22 times 57 22x + 88y + 1144z = 1254
  • Arredondando para três algarismos significativos: (22x + 2y + 14z) - (22x + 88y + 1144z) = 38 - 1254 0x - 86y - 1130z = -1216
Para a Eq3:
  • Calculamos o fator de multiplicação: -8.60 times 10^1 y - 1.13 times 10^3 z = -1.22 times 10^3 (Eq3') .
  • Multiplicamos a Eq1 por 22:
  • Subtraímos esta equação da Eq3:
  • Arredondando para três algarismos significativos:

Passo 4

Agora, temos um sistema reduzido com duas equações:
c 2.00y -1.41 times 10^3 z = -1.41 times 10^3 (Eq2') -8.60 times 10^1 y -1.13 times 10^3 z = -1.22 times 10^3 (Eq3')
Vamos resolver esse sistema para encontrar 2.00y = -1.41 times 10^3 z - 1.41 times 10^3 y = -1.41 times 10^3 z - 1.41 times 10^32.00 y = -705z -705 (Eq4) e .
Primeiro, isolamos na Eq2’:

Passo 5

Substituímos a expressão de -8.60 times 10^1 (-705z -705) -1.13 times 10^3 z = -1.22 times 10^3 6.063 times 10^3 z + 6.063 times 10^3 -1.13 times 10^3 z = -1.22 times 10^3 (6.063 -1.13) times 10^3 z +6.063 times 10^3 = -1.22 times 10^3 4.933 times 10^3 z = -7.283 times 10^3 z = -7.283 times 10^34.933 times 10^3 z approx -1.48 da Eq4 na Eq3’:

Passo 6

Com y = -705(-1.48) -705 y = 1042 -705 y = 337 , substituímos na Eq4 para encontrar :

Passo 7

Agora que temos x + 4(337) + 52(-1.48) = 57 x + 1348 - 76.96 = 57 x + 1271.04 = 57 x = 57 - 1271.04 x = -1214 e , substituímos na Eq1 para encontrar :

Resposta

As soluções do sistema são aproximadamente:
x = -1.21 times 10^3 y = 3.37 times 10^2 z = -1.48

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