A equação possui uma única solução real no intervalo [1, 2]. Usando o Método das Aproximações Sucessivas, e , encontre a aproximação de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a equação que tem uma única solução real no intervalo [1, 2]. A gente vai usar o Método das Aproximações Sucessivas para encontrar uma boa aproximação dessa solução. Para isso, vamos usar a função e começar com . Vamos precisar calcular sucessivamente os valores de usando essa função até chegar em .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o Método das Aproximações Sucessivas. Esse método é tipo um “chute e vê” refinado: a gente começa com um valor inicial e aplica uma função para gerar o próximo valor, repetindo isso várias vezes para se aproximar da solução. A função é escolhida de forma que, se a gente tiver a solução exata, ela se mantém estável.
Então, nossa fórmula é:
Vamos começar com e calcular até .

Passo 3

Vamos calcular usando :
Então, .

Passo 4

Agora, vamos calcular usando :
Primeiro, calculamos :
Então:
Arredondando, .

Passo 5

Vamos para usando :
Calculando :
Então:
E:
Assim, .

Passo 6

Agora, calculamos usando :
Calculando :
Então:
E:
Logo, .

Passo 7

Vamos calcular usando :
Calculando :
Então:
E:
Portanto, .

Passo 8

Finalmente, vamos calcular usando :
Calculando :
Então:
E:
Assim, .

Resposta

A aproximação da solução real é aproximadamente 1,3615.

Exercícios relacionados

A equação é equivalente à equação , onde , e possui uma solução única . Usando o Método das Aproximações Sucessivas, com a função e a aproximação inicial , calcule os seis termos seguintes da sequência . É possível concluir que a sequência está convergindo para ?
Usando o Método da Newton, encontre uma aproximação da solução de cada uma das seguintes equações (única nos intervalos indicados), com erro relativo menor que .
, com aproximação inicial .
Seja o conjunto dos números naturais e o conjunto das partes de , com a ordem parcial dada por se, e somente se, . Dê exemplos de elementos A , B e C de tais que mas que A e C não se comparam. Determine elementos e de tais que , para todo .
Em , considere a ordem definida por se, e somente se, ou, no caso em que . Mostre que , com esta ordem, é parcialmente ordenado. Note que, diferentemente do caso anterior, quaisquer dois elementos de se comparam.