A equação x^3+4 x^2-10=0 possui uma única solução real barx no intervalo [1, 2]. Usando o Método das Aproximações Sucessivas, com varphi(x)=raiz10-x^32 e x0=1, encontre a aproximação x6 de barx.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a equação que tem uma única solução real no intervalo [1, 2]. A gente vai usar o Método das Aproximações Sucessivas para encontrar uma boa aproximação dessa solução. Para isso, vamos usar a função e começar com . Vamos precisar calcular sucessivamente os valores de usando essa função até chegar em .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o Método das Aproximações Sucessivas. Esse método é tipo um “chute e vê” refinado: a gente começa com um valor inicial e aplica uma função para gerar o próximo valor, repetindo isso várias vezes para se aproximar da solução. A função xn+1 = varphi(xn) = raiz10 - xn^32 é escolhida de forma que, se a gente tiver a solução exata, ela se mantém estável.
Então, nossa fórmula é:
Vamos começar com e calcular até .

Passo 3

Vamos calcular x1 = raiz10 - (1)^32 = raiz10 - 12 = raiz92 = 32 = 1,5 usando :
Então, .

Passo 4

Agora, vamos calcular x2 = raiz10 - (1,5)^32 usando 10 - 3,375 = 6,625 :
x2 = raiz6,6252 approx 2,5752 approx 1,2875
Primeiro, calculamos :
Então:
Arredondando, .

Passo 5

Vamos para x3 = raiz10 - (1,2875)^32 usando 1,2875^3 approx 2,127 :
10 - 2,127 = 7,873
Calculando x3 = raiz7,8732 approx 2,8072 approx 1,4035 :
Então:
E:
Assim, .

Passo 6

Agora, calculamos x4 = raiz10 - (1,4035)^32 usando 1,4035^3 approx 2,769 :
10 - 2,769 = 7,231
Calculando x4 = raiz7,2312 approx 2,6902 approx 1,345 :
Então:
E:
Logo, .

Passo 7

Vamos calcular x5 = raiz10 - (1,345)^32 usando 1,345^3 approx 2,438 :
10 - 2,438 = 7,562
Calculando x5 = raiz7,5622 approx 2,7492 approx 1,3745 :
Então:
E:
Portanto, .

Passo 8

Finalmente, vamos calcular x6 = raiz10 - (1,3745)^32 usando 1,3745^3 approx 2,587 :
10 - 2,587 = 7,413
Calculando x6 = raiz7,4132 approx 2,7232 approx 1,3615 :
Então:
E:
Assim, .

Resposta

A aproximação da solução real é aproximadamente 1,3615.

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