A equação
possui uma única solução real
no intervalo [1, 2]. Usando o Método das Aproximações Sucessivas,
e
, encontre a aproximação
de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a equação
que tem uma única solução real no intervalo [1, 2]. A gente vai usar o Método das Aproximações Sucessivas para encontrar uma boa aproximação dessa solução. Para isso, vamos usar a função
e começar com
. Vamos precisar calcular sucessivamente os valores de
usando essa função até chegar em
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o Método das Aproximações Sucessivas. Esse método é tipo um “chute e vê” refinado: a gente começa com um valor inicial e aplica uma função para gerar o próximo valor, repetindo isso várias vezes para se aproximar da solução. A função
é escolhida de forma que, se a gente tiver a solução exata, ela se mantém estável.
Então, nossa fórmula é:
Vamos começar com
e calcular até
.
Passo 3
Vamos calcular
usando
:
Então,
.
Passo 4
Agora, vamos calcular
usando
:
Primeiro, calculamos
:
Então:
Arredondando,
.
Passo 5
Vamos para
usando
:
Calculando
:
Então:
E:
Assim,
.
Passo 6
Agora, calculamos
usando
:
Calculando
:
Então:
E:
Logo,
.
Passo 7
Vamos calcular
usando
:
Calculando
:
Então:
E:
Portanto,
.
Passo 8
Finalmente, vamos calcular
usando
:
Calculando
:
Então:
E:
Assim,
.
Resposta
A aproximação
da solução real
é aproximadamente 1,3615.