Usando o Método da Newton, encontre uma aproximação da solução barx de cada uma das seguintes equações (única nos intervalos indicados), com erro relativo menor que varepsilon=0.001.
3 x^2-cos x=0 ; barx in[0,1], com aproximação inicial x0=0.1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação usando o Método de Newton. A gente quer encontrar uma aproximação da solução dentro do intervalo , começando com e com um erro relativo menor que . Para isso, vamos precisar conhecer a fórmula do Método de Newton e saber calcular derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do Método de Newton. Ela serve para encontrar raízes de uma função e é dada por:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Aqui, é a função da qual queremos encontrar a raiz, e é a derivada dessa função.

Passo 3

Nossa função é f'(x) = 6x + sin x . Vamos calcular a derivada dela:
Agora, vamos aplicar a fórmula do Método de Newton com o valor inicial .

Passo 4

Calculando f(0.1) = 3(0.1)^2 - cos(0.1) = 3(0.01) - cos(0.1) = 0.03 - 0.9950 approx -0.9650 :
f'(0.1) = 6(0.1) + sin(0.1) = 0.6 + 0.0998 approx 0.6998
Calculando x1 = 0.1 - -0.96500.6998 approx 0.1 + 1.378 approx 1.478 :
Agora, aplicamos a fórmula:

Passo 5

Vamos verificar se atingimos o erro desejado. A diferença entre |1.478 - 0.1| = 1.378 e é:
Esse erro ainda é maior que , então precisamos continuar.

Passo 6

Agora, calculamos f(1.478) = 3(1.478)^2 - cos(1.478) approx 3(2.184) - 0.090 approx 6.552 - 0.090 approx 6.462 e f'(1.478) = 6(1.478) + sin(1.478) approx 8.868 + 0.996 approx 9.864 :
x2 = 1.478 - 6.4629.864 approx 1.478 - 0.656 approx 0.822
Aplicando a fórmula de Newton novamente:

Passo 7

Verificamos o erro:
|0.822 - 1.478| = 0.656
Ainda maior que , então continuamos.

Passo 8

Calculamos f(0.822) = 3(0.822)^2 - cos(0.822) approx 3(0.676) - 0.680 approx 2.028 - 0.680 approx 1.348 e f'(0.822) = 6(0.822) + sin(0.822) approx 4.932 + 0.731 approx 5.663 :
x3 = 0.822 - 1.3485.663 approx 0.822 - 0.238 approx 0.584
Aplicando a fórmula:

Passo 9

Verificamos o erro:
|0.584 - 0.822| = 0.238
Ainda acima do esperado, seguimos.

Passo 10

Calculamos f(0.584) = 3(0.584)^2 - cos(0.584) approx 3(0.341) - 0.834 approx 1.023 - 0.834 approx 0.189 e f'(0.584) = 6(0.584) + sin(0.584) approx 3.504 + 0.553 approx 4.057 :
x4 = 0.584 - 0.1894.057 approx 0.584 - 0.047 approx 0.537
Aplicando a fórmula:

Passo 11

Erro:
|0.537 - 0.584| = 0.047
Ainda não, continuamos.

Passo 12

Calculamos f(0.537) = 3(0.537)^2 - cos(0.537) approx 3(0.288) - 0.860 approx 0.864 - 0.860 approx 0.004 e f'(0.537) = 6(0.537) + sin(0.537) approx 3.222 + 0.514 approx 3.736 :
x5 = 0.537 - 0.0043.736 approx 0.537 - 0.001 approx 0.536
Aplicando a fórmula:

Passo 13

Erro:
|0.536 - 0.537| = 0.001
Atingimos o erro desejado de .

Resposta

Aproximação da solução é com erro relativo menor que .

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