Usando o Método da Newton, encontre uma aproximação da solução de cada uma das seguintes equações (única nos intervalos indicados), com erro relativo menor que .
, com aproximação inicial .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação usando o Método de Newton. A gente quer encontrar uma aproximação da solução dentro do intervalo , começando com e com um erro relativo menor que . Para isso, vamos precisar conhecer a fórmula do Método de Newton e saber calcular derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do Método de Newton. Ela serve para encontrar raízes de uma função e é dada por:
Aqui, é a função da qual queremos encontrar a raiz, e é a derivada dessa função.

Passo 3

Nossa função é . Vamos calcular a derivada dela:
Agora, vamos aplicar a fórmula do Método de Newton com o valor inicial .

Passo 4

Calculando :
Calculando :
Agora, aplicamos a fórmula:

Passo 5

Vamos verificar se atingimos o erro desejado. A diferença entre e é:
Esse erro ainda é maior que , então precisamos continuar.

Passo 6

Agora, calculamos e :
Aplicando a fórmula de Newton novamente:

Passo 7

Verificamos o erro:
Ainda maior que , então continuamos.

Passo 8

Calculamos e :
Aplicando a fórmula:

Passo 9

Verificamos o erro:
Ainda acima do esperado, seguimos.

Passo 10

Calculamos e :
Aplicando a fórmula:

Passo 11

Erro:
Ainda não, continuamos.

Passo 12

Calculamos e :
Aplicando a fórmula:

Passo 13

Erro:
Atingimos o erro desejado de .

Resposta

Aproximação da solução é com erro relativo menor que .

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Usando o Método da Newton, encontre uma aproximação da solução de cada uma das seguintes equações (única nos intervalos indicados), com erro absoluto menor que .
, com aproximação inicial .
Usando o Método da Newton, encontre uma aproximação da solução de cada uma das seguintes equações (única nos intervalos indicados), com erro relativo menor que .
, com aproximação inicial .
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