Usando o Método da Newton, encontre uma aproximação da solução
de cada uma das seguintes equações (única nos intervalos indicados), com erro relativo menor que
.
, com aproximação inicial
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação
usando o Método de Newton. A gente quer encontrar uma aproximação da solução
dentro do intervalo
, começando com
e com um erro relativo menor que
. Para isso, vamos precisar conhecer a fórmula do Método de Newton e saber calcular derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do Método de Newton. Ela serve para encontrar raízes de uma função e é dada por:
Aqui,
é a função da qual queremos encontrar a raiz, e
é a derivada dessa função.
Passo 3
Nossa função é
. Vamos calcular a derivada dela:
Agora, vamos aplicar a fórmula do Método de Newton com o valor inicial
.
Passo 4
Calculando
:
Calculando
:
Agora, aplicamos a fórmula:
Passo 5
Vamos verificar se atingimos o erro desejado. A diferença entre
e
é:
Esse erro ainda é maior que
, então precisamos continuar.
Passo 6
Agora, calculamos
e
:
Aplicando a fórmula de Newton novamente:
Passo 7
Verificamos o erro:
Ainda maior que
, então continuamos.
Passo 8
Calculamos
e
:
Aplicando a fórmula:
Passo 9
Verificamos o erro:
Ainda acima do esperado, seguimos.
Passo 10
Calculamos
e
:
Aplicando a fórmula:
Passo 11
Erro:
Ainda não, continuamos.
Passo 12
Calculamos
e
:
Aplicando a fórmula:
Passo 13
Erro:
Atingimos o erro desejado de
.
Resposta
Aproximação da solução
é
com erro relativo menor que
.
Exercícios relacionados
Usando o Método da Newton, encontre uma aproximação da solução
de cada uma das seguintes equações (única nos intervalos indicados), com erro absoluto menor que
.
, com aproximação inicial
.
Usando o Método da Newton, encontre uma aproximação da solução
de cada uma das seguintes equações (única nos intervalos indicados), com erro relativo menor que
.
, com aproximação inicial
.
A equação
é equivalente à equação
, onde
, e possui uma solução única
. Usando o Método das Aproximações Sucessivas, com a função
e a aproximação inicial
, calcule os seis termos seguintes da sequência
. É possível concluir que a sequência está convergindo para
?
A equação
possui uma única solução real
no intervalo [1, 2]. Usando o Método das Aproximações Sucessivas,
e
, encontre a aproximação
de
.