A equação e^-x^2-x=0 é equivalente à equação x=varphi(x), onde varphi(x)=e^-x^2, e possui uma solução única barx in[0.5,1]. Usando o Método das Aproximações Sucessivas, com a função varphi e a aproximação inicial x0=0.5, calcule os seis termos seguintes da sequência xn+1=varphi(xn), n=0,1,2, ldots. É possível concluir que a sequência está convergindo para barx ?

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a equação , que podemos reescrever como , onde . Isso está relacionado ao Método das Aproximações Sucessivas, uma técnica para encontrar soluções de equações fixas. Nosso objetivo é usar a aproximação inicial e calcular os seis termos seguintes da sequência definida por .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular x1 = varphi(x0) = e^-(0.5)^2 = e^-0.25 approx 0.7788008 usando a função e o valor inicial .

Passo 3

Agora, calculamos x2 = varphi(x1) = e^-(0.7788008)^2 approx e^-0.606113 approx 0.544012 substituindo na função :

Passo 4

Em seguida, calculamos x3 = varphi(x2) = e^-(0.544012)^2 approx e^-0.295217 approx 0.744811 usando :

Passo 5

Calculamos x4 = varphi(x3) = e^-(0.744811)^2 approx e^-0.554776 approx 0.573469 substituindo :

Passo 6

Agora, calculamos x5 = varphi(x4) = e^-(0.573469)^2 approx e^-0.329072 approx 0.719156 usando :

Passo 7

Finalmente, calculamos x6 = varphi(x5) = e^-(0.719156)^2 approx e^-0.517203 approx 0.596394 substituindo :

Resposta

Após calcular os seis termos seguintes da sequência, observamos os valores:
x0 = 0.5 x1 approx 0.7788008 x2 approx 0.544012 x3 approx 0.744811 x4 approx 0.573469 x5 approx 0.719156 x6 approx 0.596394
A sequência está oscilando entre valores maiores e menores, aproximando-se de um valor estável. Isso sugere que a sequência está convergindo para a solução única no intervalo .

Exercícios relacionados