Usando o Método da Newton, encontre uma aproximação da solução de cada uma das seguintes equações (única nos intervalos indicados), com erro absoluto menor que .
, com aproximação inicial .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a equação e queremos encontrar uma solução aproximada para que esteja no intervalo . Para isso, vamos usar o Método de Newton, que é uma técnica para encontrar raízes de funções. Vamos precisar da derivada da função e de uma boa aproximação inicial, que nesse caso é .

Passo 2

Primeiro, vamos definir nossa função . O Método de Newton usa a fórmula:
Então, precisamos encontrar a derivada de . Vamos lá!

Passo 3

Calculando a derivada de :
Então, nossa derivada é .

Passo 4

Agora, vamos iniciar o processo iterativo. Começamos com .
Calculamos :
E :

Passo 5

Aplicando a fórmula de Newton para encontrar :

Passo 6

Vamos verificar a condição de erro. Calculamos :
Como é maior que , precisamos de mais uma iteração.

Passo 7

Calculamos :
Agora, aplicamos novamente a fórmula de Newton:

Passo 8

Verificamos novamente o erro com :
O erro ainda é maior que , então fazemos mais uma iteração.

Passo 9

Calculamos :
Aplicamos a fórmula de Newton para encontrar :

Passo 10

Vamos verificar o erro com :
Como ainda é maior que , precisamos de mais uma iteração.

Passo 11

Calculamos :
Aplicamos a fórmula de Newton para encontrar :

Resposta

Aproximação da solução com erro absoluto menor que é .

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Usando o Método da Newton, encontre uma aproximação da solução de cada uma das seguintes equações (única nos intervalos indicados), com erro relativo menor que .
, com aproximação inicial .
Usando o Método da Newton, encontre uma aproximação da solução de cada uma das seguintes equações (única nos intervalos indicados), com erro absoluto menor que .
, com aproximação inicial .
Usando o Método da Newton, encontre uma aproximação da solução de cada uma das seguintes equações (única nos intervalos indicados), com erro relativo menor que .
, com aproximação inicial .
A equação é equivalente à equação , onde , e possui uma solução única . Usando o Método das Aproximações Sucessivas, com a função e a aproximação inicial , calcule os seis termos seguintes da sequência . É possível concluir que a sequência está convergindo para ?