Usando o Método da Newton, encontre uma aproximação da solução barx de cada uma das seguintes equações (única nos intervalos indicados), com erro absoluto menor que varepsilon=0.001.
e^-x^2-x=0 ; barx in[0.5,1], com aproximação inicial x0=0.5.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a equação e queremos encontrar uma solução aproximada para que esteja no intervalo . Para isso, vamos usar o Método de Newton, que é uma técnica para encontrar raízes de funções. Vamos precisar da derivada da função e de uma boa aproximação inicial, que nesse caso é .

Passo 2

Primeiro, vamos definir nossa função xn+1 = xn - f(xn)f'(xn) . O Método de Newton usa a fórmula:
Então, precisamos encontrar a derivada de . Vamos lá!

Passo 3

Calculando a derivada de f'(x) = ddx(e^-x^2 - x) = -2x e^-x^2 - 1 :
Então, nossa derivada é .

Passo 4

Agora, vamos iniciar o processo iterativo. Começamos com f(0.5) = e^-(0.5)^2 - 0.5 = e^-0.25 - 0.5 approx 0.7788 - 0.5 = 0.2788 .
Calculamos f'(0.5) = -2 times 0.5 times e^-0.25 - 1 approx -1 times 0.7788 - 1 = -0.7788 -1 = -1.7788 :
E :

Passo 5

Aplicando a fórmula de Newton para encontrar x1 = 0.5 - 0.2788-1.7788 approx 0.5 + 0.1568 = 0.6568 :

Passo 6

Vamos verificar a condição de erro. Calculamos f(0.6568) = e^-(0.6568)^2 - 0.6568 approx e^-0.4315 - 0.6568 approx 0.6491 - 0.6568 = -0.0077 :
Como é maior que , precisamos de mais uma iteração.

Passo 7

Calculamos f'(0.6568) = -2 times 0.6568 times e^-0.4315 - 1 approx -1.3136 times 0.6491 -1 approx -0.8521 -1 = -1.8521 :
x2 = 0.6568 - -0.0077-1.8521 approx 0.6568 - 0.0042 = 0.6526
Agora, aplicamos novamente a fórmula de Newton:

Passo 8

Verificamos novamente o erro com f(0.6526) = e^-(0.6526)^2 - 0.6526 approx e^-0.4254 - 0.6526 approx 0.6546 - 0.6526 = 0.0020 :
O erro ainda é maior que , então fazemos mais uma iteração.

Passo 9

Calculamos f'(0.6526) = -2 times 0.6526 times e^-0.4254 - 1 approx -1.3052 times 0.6546 -1 approx -0.8530 -1 = -1.8530 :
x3 = 0.6526 - 0.0020-1.8530 approx 0.6526 + 0.0011 = 0.6537
Aplicamos a fórmula de Newton para encontrar :

Passo 10

Vamos verificar o erro com f(0.6537) = e^-(0.6537)^2 - 0.6537 approx e^-0.4273 - 0.6537 approx 0.6522 - 0.6537 = -0.0015 :
Como ainda é maior que , precisamos de mais uma iteração.

Passo 11

Calculamos f'(0.6537) = -2 times 0.6537 times e^-0.4273 - 1 approx -1.3074 times 0.6522 -1 approx -0.8520 -1 = -1.8520 :
x4 = 0.6537 - -0.0015-1.8520 approx 0.6537 - 0.0008 = 0.6529
Aplicamos a fórmula de Newton para encontrar :

Resposta

Aproximação da solução com erro absoluto menor que é .

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