Usando o Método da Newton, encontre uma aproximação da solução
de cada uma das seguintes equações (única nos intervalos indicados), com erro absoluto menor que
.
, com aproximação inicial
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a equação
e queremos encontrar uma solução aproximada para
que esteja no intervalo
. Para isso, vamos usar o Método de Newton, que é uma técnica para encontrar raízes de funções. Vamos precisar da derivada da função e de uma boa aproximação inicial, que nesse caso é
.
Passo 2
Primeiro, vamos definir nossa função
. O Método de Newton usa a fórmula:
Então, precisamos encontrar a derivada de
. Vamos lá!
Passo 3
Calculando a derivada de
:
Então, nossa derivada é
.
Passo 4
Agora, vamos iniciar o processo iterativo. Começamos com
.
Calculamos
:
E
:
Passo 5
Aplicando a fórmula de Newton para encontrar
:
Passo 6
Vamos verificar a condição de erro. Calculamos
:
Como
é maior que
, precisamos de mais uma iteração.
Passo 7
Calculamos
:
Agora, aplicamos novamente a fórmula de Newton:
Passo 8
Verificamos novamente o erro com
:
O erro
ainda é maior que
, então fazemos mais uma iteração.
Passo 9
Calculamos
:
Aplicamos a fórmula de Newton para encontrar
:
Passo 10
Vamos verificar o erro com
:
Como
ainda é maior que
, precisamos de mais uma iteração.
Passo 11
Calculamos
:
Aplicamos a fórmula de Newton para encontrar
:
Resposta
Aproximação da solução
com erro absoluto menor que
é
.
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Usando o Método da Newton, encontre uma aproximação da solução
de cada uma das seguintes equações (única nos intervalos indicados), com erro relativo menor que
.
, com aproximação inicial
.
Usando o Método da Newton, encontre uma aproximação da solução
de cada uma das seguintes equações (única nos intervalos indicados), com erro absoluto menor que
.
, com aproximação inicial
.
Usando o Método da Newton, encontre uma aproximação da solução
de cada uma das seguintes equações (única nos intervalos indicados), com erro relativo menor que
.
, com aproximação inicial
.
A equação
é equivalente à equação
, onde
, e possui uma solução única
. Usando o Método das Aproximações Sucessivas, com a função
e a aproximação inicial
, calcule os seis termos seguintes da sequência
. É possível concluir que a sequência está convergindo para
?