A equação em uma única solução no intervalo [4.4,4.6]. Obtenha uma aproximação para solução desse problema via Método de Newton. Tome como aproximação inicial e como critério de parada . Trabalhe com 5 casas decimais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação que tem uma única solução no intervalo . O conteúdo que vamos usar aqui é o Método de Newton, que ajuda a encontrar aproximações próximas das raízes de uma função. Para isso, precisamos da função que queremos igualar a zero e a sua derivada. Vamos começar definindo nossa função e a derivada dela.
Passo 2
Primeiro, reescrevemos a equação para moldar o formato necessário para o Método de Newton. Subtraindo de ambos os lados, temos:
Agora, nossa função para encontrar a raiz é . Precisamos também da derivada dessa função para aplicar o método. A derivada de é , então:
Passo 3
O Método de Newton utiliza a fórmula de atualização:
Vamos começar com a nossa aproximação inicial e aplicar essa fórmula.
Passo 4
Calculando e :
Usando uma calculadora:
Então:
Agora, a derivada:
Sabemos que:
Portanto:
Passo 5
Aplicando a fórmula de Newton:
No entanto, percebemos que está fora do intervalo , o que indica que precisamos ajustar nosso processo ou reavaliar os cálculos. Vamos verificar novamente os cálculos de e para garantir a precisão.
Passo 6
Recalculando com mais precisão:
Aplicando novamente:
Ainda está fora do intervalo. Isso sugere que a aproximação inicial pode não ser adequada ou que há múltiplas soluções. Entretanto, como o enunciado afirma que há uma única solução no intervalo , precisamos ajustar nossa abordagem.
Passo 7
Vamos tentar uma aproximação melhor dentro do intervalo. Selecionando :
Aplicando a fórmula:
Ainda fora do intervalo. Parece que o Método de Newton não está convergindo como esperado com essas aproximações. Nesse caso, poderíamos considerar outro método ou revisar a função.
Passo 8
Considerando a função , sabemos que a tangente tem assíntotas e comportamentos alternados. Talvez, devido à natureza periódica da tangente, o Método de Newton precise de uma aproximação inicial mais próxima da raiz real dentro do intervalo.
Retornando ao , e reavaliando os cálculos com precisão melhor:
Então:
Isso sugere que a raiz real dentro do intervalo pode não ser capturada diretamente pelo Método de Newton a partir dessa aproximação inicial. Nesse caso, usar outro método numérico, como o Método da Bisseção, poderia ser mais apropriado para encontrar a raiz com a precisão desejada.
Resposta
Após aplicar o Método de Newton com a aproximação inicial e considerar o intervalo , constatamos dificuldades na convergência direta devido à natureza da função tangente. Portanto, uma aproximação mais adequada requer um ajuste no método ou o uso de outro método numérico. Com base nos cálculos realizados, a aproximação da solução é aproximadamente .