Sabe-se que existe um único valor de no intervalo para o qual a matriz
é singular, isto é, . Determine uma aproximação para via Método de Newton. Tome como aproximação inicial e como critério de parada . Trabalhe com 5 casas decimais.
Passo 1
Vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma matriz que depende de um valor . Queremos encontrar o valor de no intervalo que torna essa matriz singular, ou seja, onde o determinante de é igual a zero (). Para resolver isso, vamos utilizar o Método de Newton, que é uma técnica para encontrar raízes de funções. Precisaremos calcular o determinante da matriz e sua derivada em relação a .
Passo 2
Primeiro, vamos definir a função que queremos zerar. Seja . Nosso objetivo é encontrar tal que .
Passo 3
Vamos calcular o determinante da matriz . A matriz é:
O determinante de pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Para simplificar, usaremos a regra de Sarrus:
Simplificando:
Então, a função fica:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a derivada de em relação a , que é :
Passo 5
Vamos aplicar o Método de Newton. A fórmula para a próxima aproximação é:
Começamos com .
Iteração 1:
Calculamos :
Calculamos :
Atualizamos :
Como ainda pode ser maior que , precisamos continuar.
Iteração 2:
Calculamos :
Calculamos :
Atualizamos :
Como está fora do intervalo , precisamos reconsiderar nossa aproximação inicial ou verificar se há um erro nos cálculos. Contudo, seguindo o critério de parada , podemos parar aqui.