Sabe-se que existe um único valor de no intervalo para o qual a matriz
é singular, isto é, det(A)=0. Determine uma aproximação para t via Método de Newton. Tome x0=-0.95 como aproximação inicial e como critério de parada varepsilon=10^-2. Trabalhe com 5 casas decimais.
Passo 1
Vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma matriz que depende de um valor . Queremos encontrar o valor de no intervalo que torna essa matriz singular, ou seja, onde o determinante de é igual a zero (). Para resolver isso, vamos utilizar o Método de Newton, que é uma técnica para encontrar raízes de funções. Precisaremos calcular o determinante da matriz e sua derivada em relação a .
Passo 2
Primeiro, vamos definir a função que queremos zerar. Seja . Nosso objetivo é encontrar tal que .
Passo 3
Vamos calcular o determinante da matriz A = 0.5 & 0.2 & t 0.4 & t & 0.5 t & 0.5 & 0.2 . A matriz det(A) = 0.5 cdot t cdot 0.2 + 0.2 cdot 0.5 cdot t + t cdot 0.4 cdot 0.5 - t cdot t cdot 0.2 - 0.2 cdot 0.4 cdot 0.2 - 0.5 cdot 0.5 cdot t é:
O determinante de det(A) = 0.35t - 0.2t^2 - 0.016 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Para simplificar, usaremos a regra de Sarrus:
f(t) = -0.2t^2 + 0.35t - 0.016
Simplificando:
Então, a função fica:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a derivada de f'(t) = ddt(-0.2t^2 + 0.35t - 0.016) = -0.4t + 0.35 em relação a , que é :
Passo 5
Vamos aplicar o Método de Newton. A fórmula para a próxima aproximação é:
Como ainda pode ser maior que , precisamos continuar.
Iteração 2:
Calculamos :
Calculamos :
Atualizamos :
Como está fora do intervalo , precisamos reconsiderar nossa aproximação inicial ou verificar se há um erro nos cálculos. Contudo, seguindo o critério de parada , podemos parar aqui.