Seja um sistema de aritmética de ponto flutuante com 4 dígitos, na base decimal e precisão dupla, dados os números:
Prove que:
b) O erro relativo de
b) O erro relativo de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que temos envolve a aritmética de ponto flutuante, que é uma forma de representar números reais em computadores usando uma mantissa e um expoente. No nosso caso, estamos trabalhando com um sistema que usa 4 dígitos na base decimal e precisão dupla. Precisamos provar que o erro relativo de
é menor que
. Para resolver isso, vamos analisar como os erros se comportam quando fazemos divisões nesse sistema de ponto flutuante.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é erro relativo. O erro relativo de um número é a razão entre o erro absoluto e o valor exato desse número. Em sistemas de ponto flutuante, cada operação pode introduzir um pequeno erro, e precisamos ver como esses erros se acumulam quando dividimos dois números.
Passo 3
Vamos considerar os números fornecidos:
Cada um desses números tem 4 dígitos significativos, e em sistemas de ponto flutuante com precisão dupla, o erro relativo máximo de cada número é
.
Passo 4
Quando realizamos a divisão
, os erros relativos dos números envolvidos se somam. Então, se o erro relativo de
é
e o de
é
, o erro relativo total
será:
Passo 5
Sabemos que
e
. Então, somando esses erros:
Passo 6
Queremos provar que
. Observamos que:
Porque
e
. Então, de fato, o erro relativo da divisão
é menor que
.
Resposta
Portanto, demonstramos que o erro relativo de
é menor que
.
Exercícios relacionados
Seja um sistema de aritmética de ponto flutuante com
, na base decimal, com
represente os números abaixo e em caso de arredondamento ou truncamento informe a opção utilizada e por quê.
a) 7328
b) 2453
c) 63792
a) 7328
b) 2453
c) 63792
Seja um sistema de aritmética de ponto flutuante com 4 dígitos, na base decimal e precisão dupla, dados os números:
Prove que:
a) O erro relativo de
a) O erro relativo de
Em uma fábrica a demanda semanal de trabalho se dá de acordo com a tabela:
Segunda | 18 |
---|---|
Terça | 16 |
Quarta | 16 |
Quinta | 19 |
Sexta | 19 |
Sábado | 16 |
Domingo | 11 |
Ou seja, para que a fábrica possa exercer suas atividades, na segunda-feira são necessários 18 funcionários, na terça 16 e assim sucessivamente.
Quantos funcionários devem ser contratados para que a demanda de trabalho semanal seja satisfeita sabendo que por questões sindicais, cada operário deve trabalhar 5 dias seguidos e folgar 2? Explique as considerações feitas.
Quantos funcionários devem ser contratados para que a demanda de trabalho semanal seja satisfeita sabendo que por questões sindicais, cada operário deve trabalhar 5 dias seguidos e folgar 2? Explique as considerações feitas.
Uma equipe de pesquisadores está estudando o crescimento de uma população de bactérias em função do tempo e da temperatura. Para isso, coletaram dados experimentais sobre o número de bactérias em diferentes tempos e temperaturas. .
Os dados coletados são apresentados na seguinte tabela:
Os dados coletados são apresentados na seguinte tabela:
Tempo (horas) | Temperatura
|
População de <br> Bactérias (milhões) |
---|---|---|
1 | 20 | 2 |
2 | 22 | 3,5 |
3 | 25 | 6 |
4 | 27 | 9,5 |
5 | 30 | 14 |
6 | 32 | 21 |
Os pesquisadores acreditam que o crescimento da população de bactérias pode ser modelada por uma função da seguinte forma:
Onde
é a população de bacterias,
o tempo (em horas) e
, a temperatura.
e
são parâmetros que devem ser determinados.
a) Qual o número de bactérias após 7 horas.
b) Calcule o coeficiente para avaliar o quão bem o ajuste do modelo explica os dados observados.
a) Qual o número de bactérias após 7 horas.
b) Calcule o coeficiente