Seja um sistema de aritmética de ponto flutuante com 4 dígitos, na base decimal e precisão dupla, dados os números:
Prove que:
b) O erro relativo de
b) O erro relativo de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que temos envolve a aritmética de ponto flutuante, que é uma forma de representar números reais em computadores usando uma mantissa e um expoente. No nosso caso, estamos trabalhando com um sistema que usa 4 dígitos na base decimal e precisão dupla. Precisamos provar que o erro relativo de
é menor que
. Para resolver isso, vamos analisar como os erros se comportam quando fazemos divisões nesse sistema de ponto flutuante.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é erro relativo. O erro relativo de um número é a razão entre o erro absoluto e o valor exato desse número. Em sistemas de ponto flutuante, cada operação pode introduzir um pequeno erro, e precisamos ver como esses erros se acumulam quando dividimos dois números.
Passo 3
Vamos considerar os números fornecidos:
Cada um desses números tem 4 dígitos significativos, e em sistemas de ponto flutuante com precisão dupla, o erro relativo máximo de cada número é
.
Passo 4
Quando realizamos a divisão
, os erros relativos dos números envolvidos se somam. Então, se o erro relativo de
é
e o de
é
, o erro relativo total
será:
Passo 5
Sabemos que
e
. Então, somando esses erros:
Passo 6
Queremos provar que
. Observamos que:
Porque
e
. Então, de fato, o erro relativo da divisão
é menor que
.
Resposta
Portanto, demonstramos que o erro relativo de
é menor que
.