Seja um sistema de aritmética de ponto flutuante com 4 dígitos, na base decimal e precisão dupla, dados os números:
l X=0.7237 times 10^4 Y=0.2145 times 10^-3 Z=0.2585 times 10^1
Prove que:
b) O erro relativo de x / y<12 10^-3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que temos envolve a aritmética de ponto flutuante, que é uma forma de representar números reais em computadores usando uma mantissa e um expoente. No nosso caso, estamos trabalhando com um sistema que usa 4 dígitos na base decimal e precisão dupla. Precisamos provar que o erro relativo de é menor que . Para resolver isso, vamos analisar como os erros se comportam quando fazemos divisões nesse sistema de ponto flutuante.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é erro relativo. O erro relativo de um número é a razão entre o erro absoluto e o valor exato desse número. Em sistemas de ponto flutuante, cada operação pode introduzir um pequeno erro, e precisamos ver como esses erros se acumulam quando dividimos dois números.

Passo 3

Vamos considerar os números fornecidos:
l X = 0.7237 times 10^4 Y = 0.2145 times 10^-3 Z = 0.2585 times 10^1
Cada um desses números tem 4 dígitos significativos, e em sistemas de ponto flutuante com precisão dupla, o erro relativo máximo de cada número é .

Passo 4

Quando realizamos a divisão de, os erros relativos dos números envolvidos se somam. Então, se o erro relativo de é e o de é , o erro relativo total será:

Passo 5

Sabemos que de e . Então, somando esses erros:

Passo 6

Queremos provar que 1 times 10^-4 < 12 times 10^-3 . Observamos que:
Porque e . Então, de fato, o erro relativo da divisão é menor que .

Resposta

Portanto, demonstramos que o erro relativo de é menor que .

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