O erro ao aplicarmos a regra de 1 / 3 de Simpson é
ES=-h^5 f^(4)(xi)90 com xi in[x0, x2]
Aplique o método de 1 / 3 de Simpson simples para calcular integral0^1 2 x^3 d x. Encontre uma estimativa ao erro.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Precisamos calcular a integral de de 0 a 1 usando a regra de 1/3 de Simpson, que é um método numérico para aproximar integrais. Além disso, devemos encontrar uma estimativa para o erro dessa aproximação. Para isso, vamos precisar conhecer a fórmula da regra de Simpson e a expressão para o erro.

Passo 2

A regra de 1/3 de Simpson divide o intervalo de integração em dois subintervalos de tamanho igual. No nosso caso, e . Como vamos usar o método simples, que utiliza apenas um par de subintervalos, vamos dividir em dois intervalos de tamanho .

Passo 3

Calculamos o valor de h = 1 - 02 = 0,5 :
x0 = 0, x1 = 0 + h = 0,5, x2 = 1
Agora identificamos os pontos:

Passo 4

Aplicamos a regra de Simpson 1/3:
integrala^b f(x) , dx approx h3 [ f(x0) + 4f(x1) + f(x2) ]
Substituindo os valores:
integral0^1 2x^3 , dx approx 0,53 [ f(0) + 4f(0,5) + f(1) ]
Calculamos os valores da função:
f(0) = 2(0)^3 = 0, f(0,5) = 2(0,5)^3 = 2 times 0,125 = 0,25, f(1) = 2(1)^3 = 2
Substituindo novamente:
approx 0,53 [ 0 + 4 times 0,25 + 2 ] = 0,53 times 3 = 0,5

Passo 5

Agora, vamos calcular a estimativa para o erro usando a fórmula fornecida:
ES = -h^5 f^(4)(xi)90
Primeiro, encontramos a quarta derivada de f'(x) = 6x^2, f''(x) = 12x, f'''(x) = 12, f^(4)(x) = 0 :
Como , o erro .

Resposta

A integral de de 0 a 1 calculada pela regra de 1/3 de Simpson é aproximadamente , com um erro estimado de .

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