Sabendo-se que a distribuição normal padrão é representada pela função
, calcule uma aproximação para a probabilidade para
entre
utilizando o método de
de Simpson sobre 6 subintervalos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício está falando sobre a distribuição normal padrão, que é representada pela função
. A gente precisa calcular uma aproximação da probabilidade para
entre 0 e 1,2 usando o método de Simpson 1/3 com 6 subintervalos. Basicamente, vamos estimar a área sob a curva dessa função entre esses dois valores de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o método de Simpson 1/3. É uma técnica de integração numérica usada para aproximar o valor de integrais definidas. Ele é mais preciso que métodos simples como os de Trapézios porque usa parábolas para aproximar a função em cada subintervalo. Para aplicar o método de Simpson 1/3, precisamos dividir a área sob a curva em um número par de subintervalos, no caso, 6 subintervalos.
Passo 3
Vamos calcular o tamanho de cada subintervalo. A fórmula para o tamanho do subintervalo
é:
Onde:
-
(início do intervalo) -
(fim do intervalo) -
(número de subintervalos)
Então:
Passo 4
Agora, vamos determinar os valores de
para cada ponto
no intervalo. Com
, os pontos são:
Passo 5
Vamos calcular o valor da função
em cada ponto
:
Vamos calcular cada um:
Passo 6
Vamos aplicar a fórmula do método de Simpson 1/3:
No nosso caso:
Passo 7
Vamos substituir os valores calculados:
Calculando dentro dos parênteses:
Resposta
Aproximadamente, a probabilidade para
entre [0,1.2] é 0,3433.
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O erro ao aplicarmos a regra de
de Simpson é
Aplique o método de
de Simpson simples para calcular
. Encontre uma estimativa ao erro.
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de Simpson composta sob 6 subintervalos para calcular o comprimento do arco da função
no intervalo
.
Mostre que, ao aplicarmos o método de
de Simpson
vezes, considerando uma partição de
em um número
, o erro cometido será
Seja
, tal que
. Provar usando a definição de limite que