Sabendo-se que a distribuição normal padrão é representada pela função f(z)=1raiz2 pi e^-0.5 z^2, calcule uma aproximação para a probabilidade para z entre [0,1.2] utilizando o método de 1 / 3 de Simpson sobre 6 subintervalos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício está falando sobre a distribuição normal padrão, que é representada pela função . A gente precisa calcular uma aproximação da probabilidade para entre 0 e 1,2 usando o método de Simpson 1/3 com 6 subintervalos. Basicamente, vamos estimar a área sob a curva dessa função entre esses dois valores de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o método de Simpson 1/3. É uma técnica de integração numérica usada para aproximar o valor de integrais definidas. Ele é mais preciso que métodos simples como os de Trapézios porque usa parábolas para aproximar a função em cada subintervalo. Para aplicar o método de Simpson 1/3, precisamos dividir a área sob a curva em um número par de subintervalos, no caso, 6 subintervalos.

Passo 3

Vamos calcular o tamanho de cada subintervalo. A fórmula para o tamanho do subintervalo h = b - an é:
h = 1,2 - 06 = 0,2
Onde:
  • (início do intervalo)
  • (fim do intervalo)
  • (número de subintervalos)
Então:

Passo 4

Agora, vamos determinar os valores de x0 = 0, x1 = 0,2, x2 = 0,4, x3 = 0,6, x4 = 0,8, x5 = 1,0, x6 = 1,2 para cada ponto no intervalo. Com , os pontos são:

Passo 5

Vamos calcular o valor da função f(xi) = 1raiz2pi e^-0,5 xi^2 em cada ponto f(0) = 1raiz2pi e^0 = 1raiz2pi approx 0,398942 :
f(0,2) = 1raiz2pi e^-0,5 (0,2)^2 approx 0,391042
Vamos calcular cada um:
f(0,4) = 1raiz2pi e^-0,5 (0,4)^2 approx 0,381388
f(0,6) = 1raiz2pi e^-0,5 (0,6)^2 approx 0,369441
f(0,8) = 1raiz2pi e^-0,5 (0,8)^2 approx 0,355651
f(1,0) = 1raiz2pi e^-0,5 (1,0)^2 approx 0,241971
f(1,2) = 1raiz2pi e^-0,5 (1,2)^2 approx 0,265958

Passo 6

Vamos aplicar a fórmula do método de Simpson 1/3:
integrala^b f(z) dz approx h3 [ f(x0) + 4 sumi ímpar f(xi) + 2 sumi par, exceto 0 e n f(xi) + f(xn) ] í
No nosso caso:
integral0^1,2 f(z) dz approx 0,23 [ f(0) + 4(f(0,2) + f(0,6) + f(1,0)) + 2(f(0,4) + f(0,8)) + f(1,2) ]

Passo 7

Vamos substituir os valores calculados:
approx 0,23 [ 0,398942 + 4(0,391042 + 0,369441 + 0,241971) + 2(0,381388 + 0,355651) + 0,265958 ]
Calculando dentro dos parênteses:
= 0,23 [ 0,398942 + 4(1,002454) + 2(0,737039) + 0,265958 ]
= 0,23 [ 0,398942 + 4,009816 + 1,474078 + 0,265958 ]
= 0,23 [ 5,148774 ]
= 0,23 times 5,148774 approx 0,2 times 1,716258 approx 0,343252

Resposta

Aproximadamente, a probabilidade para entre [0,1.2] é 0,3433.

Exercícios relacionados