Mostre que, ao aplicarmos o método de 1 / 3 de Simpson N vezes, considerando uma partição de [a, b] em um número n=2 N, o erro cometido será
ES C=-(b-a) h^4 f^(4)(xi)180 com xi in[x0, x2]

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um exercício sobre o método de Simpson 1/3, que é uma técnica usada para calcular integrais de forma aproximada. O enunciado pede para mostrar que, quando aplicamos esse método ESC = -(b-a) h^4 f^(4)(xi)180 com xi in [x0, x2] vezes em uma partição do intervalo dividindo em subintervalos, o erro cometido na aproximação é dado por:
Vamos precisar entender como o método de Simpson funciona, como o erro é calculado e como isso se relaciona com a quantidade de vezes que aplicamos o método.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o método de Simpson 1/3. Ele é uma forma de aproximar a integral de uma função integrala^b f(x) , dx approx h3 [ f(a) + 4f(a+b2) + f(b) ] no intervalo usando parábolas para estimar a área sob a curva. A fórmula básica do método de Simpson 1/3 para um subintervalo é:
onde é o tamanho do subintervalo.

Passo 3

Agora, quando a gente divide o intervalo em subintervalos, cada subintervalo tem tamanho . Aplicar o método de Simpson 1/3 vezes significa que estamos somando as aproximações em cada par de subintervalos, já que o método de Simpson 1/3 requer que o número de subintervalos seja par.

Passo 4

O erro do método de Simpson 1/3 para um único par de subintervalos é dado por:
E = -(b - a) h^4 f^(4)(xi)180
onde ESC = N times ( -(b - a) h^4 f^(4)(xi)180 ) é a quarta derivada de avaliada em algum ponto no intervalo.
Quando a gente aplica o método vezes em pares de subintervalos, cada par contribui com esse erro. Como os erros se somam, o erro total é:

Passo 5

Substituindo ESC = -(b - a)180 ( b - a2N )^4 f^(4)(xi) times N na expressão do erro total, temos:
ESC = -(b - a)180 times (b - a)^416N^4 f^(4)(xi) times N = -(b - a) h^4 f^(4)(xi)180
Simplificando:
onde .

Resposta

Portanto, ao aplicar o método de Simpson ESC = -(b-a) h^4 f^(4)(xi)180 vezes com uma partiç��o de em subintervalos, o erro cometido é:
com .

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