Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo. A seguir, estude o sinal dessas funções, isto é, diga para quais valores de expressão f(x) é positiva, negativa ou nula. Após isso, calcule para quais valores a função é crescente ou decrescente.
f(x)=x^2-5 x+6 quadraticu

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai trabalhar com a função quadrática . O que precisamos fazer é:
  1. Esboçar o gráfico dessa função.
  2. Estudar onde a função é positiva, negativa ou igual a zero.
  3. Descobrir onde a função está crescendo ou decrescendo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a forma geral de uma função quadrática: . No nosso caso, , e . O gráfico de uma função quadrática é sempre uma parábola. Como , a parábola abre para cima.

Passo 3

Para esboçar o gráfico, precisamos encontrar as raízes da função, que são os valores de onde . Vamos resolver a equação .

Passo 4

Podemos fatorar a equação:
x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0
Então, as raízes são e .

Passo 5

Agora, vamos encontrar o vértice da parábola. As coordenadas do vértice são dadas por:
xv = -b2a = --52 times 1 = 52
Para encontrar yv = (52)^2 - 5 times 52 + 6 = 254 - 252 + 6 = 254 - 504 + 244 = -14 , substituímos na função:
Então, o vértice é .

Passo 6

Com as raízes e o vértice, podemos esboçar o gráfico: a parábola corta o eixo em 2 e 3, tem o vértice no ponto e abre para cima.

Passo 7

Agora, vamos estudar o sinal da função . Sabemos que a parábola abre para cima e cruza o eixo em 2 e 3. Isso significa que:
  • Para , é positiva.
  • Entre , é negativa.
  • Para , é novamente positiva.
  • Nos pontos e , .

Passo 8

Por fim, vamos determinar onde a função está crescendo ou decrescendo. A derivada de f'(x) = 2x - 5 nos dá essa informação:
Quando , a função está crescendo; quando , está decrescendo.

Passo 9

Resolvendo , temos . Então:
  • Para , , então está decrescendo.
  • Para , , então está crescendo.

Resposta

O gráfico da função é uma parábola que abre para cima, com raízes em e , e vértice em . A função é positiva para e , negativa entre , e igual a zero em e . Além disso, está decrescendo para e crescendo para .

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