Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo. A seguir, estude o sinal dessas funções, isto é, diga para quais valores de expressão
é positiva, negativa ou nula. Após isso, calcule para quais valores a função é crescente ou decrescente.
quadraticu
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai trabalhar com a função quadrática
. O que precisamos fazer é:
- Esboçar o gráfico dessa função.
- Estudar onde a função é positiva, negativa ou igual a zero.
- Descobrir onde a função está crescendo ou decrescendo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a forma geral de uma função quadrática:
. No nosso caso,
,
e
. O gráfico de uma função quadrática é sempre uma parábola. Como
, a parábola abre para cima.
Passo 3
Para esboçar o gráfico, precisamos encontrar as raízes da função, que são os valores de
onde
. Vamos resolver a equação
.
Passo 4
Podemos fatorar a equação:
Então, as raízes são
e
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar o vértice da parábola. As coordenadas do vértice são dadas por:
Para encontrar
, substituímos
na função:
Então, o vértice é
.
Passo 6
Com as raízes e o vértice, podemos esboçar o gráfico: a parábola corta o eixo
em 2 e 3, tem o vértice no ponto
e abre para cima.
Passo 7
Agora, vamos estudar o sinal da função
. Sabemos que a parábola abre para cima e cruza o eixo
em 2 e 3. Isso significa que:
- Para
, é positiva. - Entre
, é negativa. - Para
, é novamente positiva. - Nos pontos
e , .
Passo 8
Por fim, vamos determinar onde a função está crescendo ou decrescendo. A derivada de
nos dá essa informação:
Quando
, a função está crescendo; quando
, está decrescendo.
Passo 9
Resolvendo
, temos
. Então:
- Para
, , então está decrescendo. - Para
, , então está crescendo.
Resposta
O gráfico da função
é uma parábola que abre para cima, com raízes em
e
, e vértice em
. A função é positiva para
e
, negativa entre
, e igual a zero em
e
. Além disso,
está decrescendo para
e crescendo para
.
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