Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo. A seguir, estude o sinal dessas funções, isto é, diga para quais valores de expressão
é positiva, negativa ou nula. Após isso, calcule para quais valores a função é crescente ou decrescente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa fazer três coisas com a função
:
- Esboçar o gráfico da função.
- Estudar o sinal da função, ou seja, descobrir para quais valores de
a função é positiva, negativa ou igual a zero. - Determinar os intervalos em que a função está crescendo ou decrescendo.
Para isso, vamos precisar de alguns conhecimentos básicos de funções quadráticas, como identificar o vértice, a concavidade da parábola, e calcular derivadas para saber onde a função aumenta ou diminui.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função quadrática
. As funções quadráticas têm a forma geral
. Aqui,
,
, e
.
A concavidade da parábola é determinada pelo sinal de
. Se
, a parábola abre para cima; se
, abre para baixo. No nosso caso,
, então a parábola abre para cima.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vértice da parábola, que nos dá o ponto mais baixo (mínimo) ou mais alto (máximo) da função. As coordenadas do vértice
são calculadas por:
Substituindo os valores:
Para encontrar
, substituímos
na função:
Então, o vértice está no ponto
.
Passo 4
Com o vértice conhecido, podemos dizer que a menor valor que
atinge é 1 (porque a parábola abre para cima). Isso significa que
nunca será menor que 1. Portanto:
- Positiva: Para todos os valores de
, já que . - Negativa: Nunca ocorre.
- Nula: Nunca ocorre, porque
nunca é igual a zero.
Passo 5
Agora, vamos determinar onde a função está crescente ou decrescente. Para isso, vamos usar a primeira derivada da função, que nos indica o comportamento crescente ou decrescente.
A derivada de
é:
Vamos analisar o sinal de
:
- Quando
, a função está crescente. - Quando
, a função está decrescente.
Resolvendo
:
E
:
Então:
- Crescente para
. - Decrescente para
.
Resposta
- Gráfico: A parábola
abre para cima com vértice em . - Sinal:
é sempre positiva ( ) e nunca é negativa ou nula. - Crescente/Decrescente:
- Crescente para
. - Decrescente para
.
- Crescente para
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quadraticu
Seja
.
Encontre os intervalos para os quais
Encontre os intervalos para os quais
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