Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo. A seguir, estude o sinal dessas funções, isto é, diga para quais valores de expressão é positiva, negativa ou nula. Após isso, calcule para quais valores a função é crescente ou decrescente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa fazer três coisas com a função :
  1. Esboçar o gráfico da função.
  2. Estudar o sinal da função, ou seja, descobrir para quais valores de a função é positiva, negativa ou igual a zero.
  3. Determinar os intervalos em que a função está crescendo ou decrescendo.
Para isso, vamos precisar de alguns conhecimentos básicos de funções quadráticas, como identificar o vértice, a concavidade da parábola, e calcular derivadas para saber onde a função aumenta ou diminui.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função quadrática . As funções quadráticas têm a forma geral . Aqui, , , e .
A concavidade da parábola é determinada pelo sinal de . Se , a parábola abre para cima; se , abre para baixo. No nosso caso, , então a parábola abre para cima.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vértice da parábola, que nos dá o ponto mais baixo (mínimo) ou mais alto (máximo) da função. As coordenadas do vértice são calculadas por:
Substituindo os valores:
Para encontrar , substituímos na função:
Então, o vértice está no ponto .

Passo 4

Com o vértice conhecido, podemos dizer que a menor valor que atinge é 1 (porque a parábola abre para cima). Isso significa que nunca será menor que 1. Portanto:
  • Positiva: Para todos os valores de , já que .
  • Negativa: Nunca ocorre.
  • Nula: Nunca ocorre, porque nunca é igual a zero.

Passo 5

Agora, vamos determinar onde a função está crescente ou decrescente. Para isso, vamos usar a primeira derivada da função, que nos indica o comportamento crescente ou decrescente.
A derivada de é:
Vamos analisar o sinal de :
  • Quando , a função está crescente.
  • Quando , a função está decrescente.
Resolvendo :
E :
Então:
  • Crescente para .
  • Decrescente para .

Resposta

  • Gráfico: A parábola abre para cima com vértice em .
  • Sinal: é sempre positiva ( ) e nunca é negativa ou nula.
  • Crescente/Decrescente:
    • Crescente para .
    • Decrescente para .

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quadraticu
Seja .
Encontre os intervalos para os quais
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