Seja g(x)=|x-1|+|x-2|.
Encontre os intervalos para os quais g(x)<1

Passo 1

Vamos resolver o problema onde precisamos encontrar os intervalos de que satisfazem a condição . Para isso, vamos usar os conceitos de funções de valor absoluto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Ela é a soma de dois valores absolutos, que medem a distância de até os pontos 1 e 2 na reta real.

Passo 3

Para resolver , precisamos considerar os diferentes casos onde as expressões dentro dos valores absolutos mudam de sinal. Esses pontos são e .

Passo 4

Vamos dividir a reta real em três intervalos com base nesses pontos:

Passo 5

Caso 1: 3 - 2x < 1 -2x < -2 x > 1
  • Aqui, então
  • E então
Assim,
Resolvendo a inequação:
Mas estamos considerando , então não há soluções neste intervalo.

Passo 6

Caso 2:
  • Aqui, então
  • E então
Assim,
Queremos , mas , então não há soluções neste intervalo.

Passo 7

Caso 3: 2x - 3 < 1 2x < 4 x < 2
  • Aqui, g(2) = |2 - 1| + |2 - 2| = 1 + 0 = 1 então
  • E então
Assim,
Resolvendo a inequação:
Mas estamos considerando , então a única possibilidade é . Substituindo:
Como não é menor que , não há soluções neste intervalo.

Resposta

Não existem valores de que satisfazem .

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