Seja g(x)=|x-1|+|x-2|.
Encontre os intervalos para os quais g(x)>1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função e pede para encontrarmos os intervalos onde . Isso está dentro do conteúdo de funções absolutas e inequações. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam os valores absolutos e como resolver inequações envolvendo eles.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função . Os valores absolutos fazem a função ter diferentes comportamentos dependendo dos valores de . Vamos identificar os pontos onde a expressão dentro do valor absoluto muda de sinal, ou seja, onde e . Isso acontece em e . Então, vamos dividir a linha dos números em três intervalos baseados nesses pontos:

Passo 3

Agora, vamos resolver a inequação g(x) = -(x - 1) - (x - 2) = -x + 1 - x + 2 = -2x + 3 em cada um desses intervalos.
Intervalo 1: -2x + 3 > 1
Aqui, tanto -2x > 1 - 3 -2x > -2 x < 1 quanto g(x) = (x - 1) - (x - 2) = x - 1 - x + 2 = 1 são negativos, então:
1 > 1
Queremos:
g(x) = (x - 1) + (x - 2) = x - 1 + x - 2 = 2x - 3
Resolvendo para 2x - 3 > 1 :
2x > 1 + 3 2x > 4 x > 2
Como já está definido nesse intervalo, todas as satisfazem a inequação.
Intervalo 2:
Aqui, é não negativa e é negativa, então:
Queremos:
Isso não é verdade, então não há soluções nesse intervalo.
Intervalo 3:
Aqui, tanto quanto são não negativas, então:
Queremos:
Resolvendo para :
Como e precisamos que , as soluções são .

Resposta

Os intervalos onde são e .

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