Seja
uma sequência de números positivos que converge para
. Calcule
.
Passo 1
Beleza, então a gente tem uma sequência de números positivos, chamada
, que converge para
. A questão quer a gente calcular o limite quando
vai para o infinito da expressão
. Vamos usar conhecimentos de limites de sequências para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, como
converge para
, sabemos que também
, que é a sequência deslocada, vai convergir para o mesmo valor, ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o termo
. Sabemos que
é o mesmo que
. Conforme
cresce,
cresce muito rápido, então
vai ficando cada vez menor, chegando a 0. Portanto,
.
Passo 4
Com isso, podemos usar a propriedade dos limites que diz que o limite da soma é a soma dos limites. Então, a gente tem:
Passo 5
Substituindo os limites que já calculamos:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
(1.0) Suponha que o sistema linear do item anterior seja resolvido por um método iterativo do tipo Gauss-Jacobi ou Gauss-Seidel. É possível garantir a convergência de qualquer um desses métodos considerando a disposição original de equações do sistema? Justifique.
Esboce o gráfico de
usando seus conhecimentos de limites para calcular os limites de
quando
tende a 2 ou -2 pela esquerda ou pela direita e quando
tende a
.
Calcular as integrais indefinidas a seguir.
Calcular as integrais indefinidas a seguir.