Seja uma sequência de números positivos que converge para . Calcule .

Passo 1

Beleza, então a gente tem uma sequência de números positivos, chamada , que converge para . A questão quer a gente calcular o limite quando vai para o infinito da expressão . Vamos usar conhecimentos de limites de sequências para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, como converge para , sabemos que também , que é a sequência deslocada, vai convergir para o mesmo valor, ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos olhar para o termo . Sabemos que é o mesmo que . Conforme cresce, cresce muito rápido, então vai ficando cada vez menor, chegando a 0. Portanto, .

Passo 4

Com isso, podemos usar a propriedade dos limites que diz que o limite da soma é a soma dos limites. Então, a gente tem:

Passo 5

Substituindo os limites que já calculamos:

Resposta

O limite é .

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(1.0) Suponha que o sistema linear do item anterior seja resolvido por um método iterativo do tipo Gauss-Jacobi ou Gauss-Seidel. É possível garantir a convergência de qualquer um desses métodos considerando a disposição original de equações do sistema? Justifique.
Esboce o gráfico de usando seus conhecimentos de limites para calcular os limites de quando tende a 2 ou -2 pela esquerda ou pela direita e quando tende a .
Calcular as integrais indefinidas a seguir.
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