Seja bnn=1^infty uma sequência de números positivos que converge para 12. Calcule lim n infty 3 bn+1-bn+4^-n.

Passo 1

Beleza, então a gente tem uma sequência de números positivos, chamada bn, que converge para 12. A questão quer a gente calcular o limite quando n vai para o infinito da expressão 3 bn+1 - bn + 4^-n. Vamos usar conhecimentos de limites de sequências para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, como bn converge para 12, sabemos que também bn+1, que é a sequência deslocada, vai convergir para o mesmo valor, ou seja, limn to infty bn+1 = 12.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o termo 4^-n. Sabemos que 4^-n é o mesmo que 14^n. Conforme n cresce, 4^n cresce muito rápido, então 14^n vai ficando cada vez menor, chegando a 0. Portanto, limn to infty 4^-n = 0.

Passo 4

Com isso, podemos usar a propriedade dos limites que diz que o limite da soma é a soma dos limites. Então, a gente tem:
limn to infty (3 bn+1 - bn + 4^-n) = 3 limn to infty bn+1 - limn to infty bn + limn to infty 4^-n

Passo 5

Substituindo os limites que já calculamos:
3 times 12 - 12 + 0 = 32 - 12 = 1

Resposta

O limite é 1.

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