Mostre que a equação
tem uma única raiz real.
Passo 1
Vamos analisar a equação
. Nosso objetivo é provar que essa equação possui apenas uma solução real. Para isso, vamos utilizar conceitos de funções e análise de comportamento de funções, especificamente examinando se a função é monótona (sempre aumentando ou sempre diminuindo), o que nos ajudará a concluir se há uma única raiz.
Passo 2
Primeiro, vamos definir uma função
que representa o lado esquerdo da equação:
Queremos encontrar os valores de
para os quais
.
Passo 3
Para determinar se a função
possui apenas uma raiz real, vamos analisar sua derivada. A derivada de uma função nos diz se a função está aumentando ou diminuindo em determinado intervalo.
Vamos calcular a derivada de
:
Calculando termo a termo:
Portanto, a derivada de
é:
Passo 4
Agora, vamos analisar o sinal da derivada
.
Sabemos que
varia entre
e
. Portanto:
Multiplicando todos os membros da desigualdade por
(lembrando que ao multiplicar por um número negativo a desigualdade inverte):
Somando 3 a todos os membros:
Sabemos que
, então:
Isso significa que
é sempre positivo, ou seja, a função
está sempre aumentando.
Passo 5
Como a função
é estritamente crescente em todo o domínio real, ela pode cruzar o eixo
no máximo uma vez. Portanto, a equação
possui apenas uma raiz real.
Resposta
A equação
possui uma única raiz real.
Exercícios relacionados
Mostre que a função
é estritamente decrescente no intervalo
e conclua que
.
Seja
uma função derivável tal que
e
para todo
. Mostre que
para todo
.
Esboce os gráficos das funções abaixo:
Esboce os gráficos das funções abaixo: