Mostre que a equação 3 x-2+cos (pi x2)=0 tem uma única raiz real.

Passo 1

Vamos analisar a equação . Nosso objetivo é provar que essa equação possui apenas uma solução real. Para isso, vamos utilizar conceitos de funções e análise de comportamento de funções, especificamente examinando se a função é monótona (sempre aumentando ou sempre diminuindo), o que nos ajudará a concluir se há uma única raiz.

Passo 2

Primeiro, vamos definir uma função f(x) = 3x - 2 + cos(pi x2) que representa o lado esquerdo da equação:
Queremos encontrar os valores de para os quais .

Passo 3

Para determinar se a função f'(x) = ddx(3x - 2 + cos(pi x2)) possui apenas uma raiz real, vamos analisar sua derivada. A derivada de uma função nos diz se a função está aumentando ou diminuindo em determinado intervalo.
Vamos calcular a derivada de ddx(3x) = 3 :
ddx(-2) = 0
Calculando termo a termo:
ddx(cos(pi x2)) = -sin(pi x2) cdot pi2
f'(x) = 3 - pi2 sin(pi x2)
Portanto, a derivada de é:

Passo 4

Agora, vamos analisar o sinal da derivada -1 <= sin(pi x2) <= 1 .
Sabemos que pi2 >= -pi2 sin(pi x2) >= -pi2 varia entre 3 + pi2 >= 3 - pi2 sin(pi x2) >= 3 - pi2 e 3 + 1.57 >= f'(x) >= 3 - 1.57 . Portanto:
4.57 >= f'(x) >= 1.43
Multiplicando todos os membros da desigualdade por (lembrando que ao multiplicar por um número negativo a desigualdade inverte):
Somando 3 a todos os membros:
Sabemos que , então:
Isso significa que é sempre positivo, ou seja, a função está sempre aumentando.

Passo 5

Como a função é estritamente crescente em todo o domínio real, ela pode cruzar o eixo no máximo uma vez. Portanto, a equação possui apenas uma raiz real.

Resposta

A equação possui uma única raiz real.

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Mostre que a função f(x)=x^1 / x é estritamente decrescente no intervalo (1,+infty) e conclua que e^pi>pi^e.
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Esboce os gráficos das funções abaixo:
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Esboce os gráficos das funções abaixo:
f(x)=ln (x^2+1)