Mostre que a função f(x)=x^1 / x é estritamente decrescente no intervalo (1,+infty) e conclua que e^pi>pi^e.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos a função e queremos mostrar que ela é estritamente decrescente no intervalo . Além disso, com essa informação, precisamos concluir que . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para analisar o comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa uma função ser estritamente decrescente. Uma função é estritamente decrescente em um intervalo se, conforme aumenta, sempre diminui. Para verificar isso, vamos calcular a derivada de e ver se ela é negativa nesse intervalo.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de f(x) = e^ln(x^1/x) = e^ln xx . Para facilitar, podemos reescrever a função usando logaritmos:
Agora, derivamos usando a regra da cadeia. A derivada de é , onde .

Passo 4

Calculando g(x) = ln xx :
g'(x) = 1 cdot x - ln x cdot 1x^2 = x - ln xx^2
f'(x) = e^ln xx cdot x - ln xx^2
Portanto, a derivada de é:

Passo 5

Agora, vamos analisar o sinal de g'(x) = x - 1 - ln xx^2 no intervalo . Sabemos que é sempre positivo. Então, o sinal de depende do termo .
Para :
  • é maior que , já que para .
  • Logo, .
No entanto, observamos que há um erro aqui. De fato, queremos que a derivada seja negativa para que a função seja decrescente. Revisando:
Na verdade, queremos que . Observando novamente:
O correto é . Portanto, para , , e , tornando .

Passo 6

Portanto, confirmamos que para , o que significa que é estritamente decrescente no intervalo . Como e , sabemos que , então é decrescente nesse intervalo.

Passo 7

Agora, vamos concluir que f(e) = e^1/e e f(pi) = pi^1/pi . Sabemos que:
f(pi) < f(e) implies pi^1/pi < e^1/e
Como (pi^1/pi)^epi < (e^1/e)^epi é decrescente e pi^e < e^pi , então:
Elevando ambos os lados à potência :

Resposta

Logo, .

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