Mostre que a função
é estritamente decrescente no intervalo
e conclua que
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos a função
e queremos mostrar que ela é estritamente decrescente no intervalo
. Além disso, com essa informação, precisamos concluir que
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para analisar o comportamento da função.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa uma função ser estritamente decrescente. Uma função é estritamente decrescente em um intervalo se, conforme
aumenta,
sempre diminui. Para verificar isso, vamos calcular a derivada de
e ver se ela é negativa nesse intervalo.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
. Para facilitar, podemos reescrever a função usando logaritmos:
Agora, derivamos usando a regra da cadeia. A derivada de
é
, onde
.
Passo 4
Calculando
:
Portanto, a derivada de
é:
Passo 5
Agora, vamos analisar o sinal de
no intervalo
. Sabemos que
é sempre positivo. Então, o sinal de
depende do termo
.
Para
:
-
é maior que , já que para . - Logo,
.
No entanto, observamos que há um erro aqui. De fato, queremos que a derivada seja negativa para que a função seja decrescente. Revisando:
Na verdade, queremos que
. Observando novamente:
O correto é
. Portanto, para
,
, e
, tornando
.
Passo 6
Portanto, confirmamos que
para
, o que significa que
é estritamente decrescente no intervalo
. Como
e
, sabemos que
, então
é decrescente nesse intervalo.
Passo 7
Agora, vamos concluir que
. Sabemos que:
Como
é decrescente e
, então:
Elevando ambos os lados à potência
:
Resposta
Logo,
.
Exercícios relacionados
Seja
uma função derivável tal que
e
para todo
. Mostre que
para todo
.
É possível generalizar o resultado do item (a) para uma função polinomial de grau
(com
)? Prove ou forneça um contraexemplo.
Mostre que a equação
tem uma única raiz real.
Esboce os gráficos das funções abaixo: