Escalone, resolva e classifique os sistemas lineares:
ccc3 x+ & y- 11 z & =-2 x+ & 2 y+ z & =1 2 x+3 y- z & =1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações lineares pra resolver usando o método de escalonamento. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear. Vamos precisar reorganizar as equações para facilitar a resolução, transformando o sistema em uma forma triangular onde podemos resolver as incógnitas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de matriz aumentada:
3 & 1 & -11 & | & -2 1 & 2 & 1 & | & 1 2 & 3 & -1 & | & 1
Isso nos ajuda a visualizar melhor as operações que precisamos fazer.

Passo 3

O objetivo é ter zeros abaixo do primeiro elemento da primeira coluna. Então, vamos eliminar o x das segunda e terceira equações.
  • Linha 2: Subtraia (1/3) vezes a Linha 1 da Linha 2.
    Linha 2 = Linha 2 - (13) times Linha 1
    Calculando:
    1 - (13 times 3) = 0 2 - (13 times 1) = 53 1 - (13 times (-11)) = 143 1 - (13 times (-2)) = 53
  • Linha 3: Subtraia (2/3) vezes a Linha 1 da Linha 3.
    Linha 3 = Linha 3 - (23) times Linha 1
    Calculando:
    2 - (23 times 3) = 0 3 - (23 times 1) = 73 -1 - (23 times (-11)) = 193 1 - (23 times (-2)) = 73
Agora, a matriz fica:
3 & 1 & -11 & | & -2 0 & 53 & 143 & | & 53 0 & 73 & 193 & | & 73

Passo 4

Vamos agora eliminar o y da terceira equação. Para isso, vamos ajustar a Linha 3.
  • Linha 3: Subtraia (7/5) vezes a Linha 2 da Linha 3.
    Linha 3 = Linha 3 - (75) times Linha 2
    Calculando:
    73 - (75 times 53) = 0 193 - (75 times 143) = 193 - 9815 = 19 times 5 - 9815 = 95 - 9815 = -315 = -15 73 - (75 times 53) = 73 - 3515 = 73 - 73 = 0
A matriz agora é:
3 & 1 & -11 & | & -2 0 & 53 & 143 & | & 53 0 & 0 & -15 & | & 0

Passo 5

Agora temos a forma escalonada, e podemos resolver de trás pra frente.
  • Linha 3: 53 y = 53 Rightarrow y = 1 3x + 1 = -2 Rightarrow 3x = -3 Rightarrow x = -1
  • Linha 2:
    Substituindo :
  • Linha 1:
    Substituindo e :

Resposta

A solução do sistema é:
x = -1, y = 1, z = 0
O sistema é determinante e possui uma solução única.

Exercícios relacionados