O polinômio de segundo grau, p2(x)=a x^2+b x+c, cujo gráfico passa pelos pontos não colineares P1=(x1, f(x1)), P2=(x2, f(x2)) e P3= (x3, f(x3)) pode ser obtido pela resolução de um sistema linear 3 times 3. Obtenha o polinômio de segundo grau cujo gráfico passa pelos pontos P1(1,0), P2(2,2) e P3(-1,1).

Passo 1

Então, galera! A gente tem um exercício onde precisamos encontrar um polinômio de segundo grau, ou seja, da forma . Esse polinômio deve passar por três pontos específicos: , e . Para resolver isso, vamos usar um sistema de equações lineares . Precisamos achar os valores de , e que satisfazem todas as três condições impostas pelos pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o polinômio passar por esses pontos. Quando dizemos que a(1)^2 + b(1) + c = 0 passa pelo ponto a + b + c = 0 (Equação 1) , isso quer dizer que quando , deve ser igual a 0. Ou seja:
Simplificando:
çã

Passo 3

Agora, vamos aplicar o mesmo raciocínio para o segundo ponto a(2)^2 + b(2) + c = 2 . Quando 4a + 2b + c = 2 (Equação 2) , :
Simplificando:
çã

Passo 4

E para o terceiro ponto a(-1)^2 + b(-1) + c = 1 , temos:
a - b + c = 1 (Equação 3)
Simplificando:
çã

Passo 5

Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas:
a + b + c = 0 (Equação 1) 4a + 2b + c = 2 (Equação 2) a - b + c = 1 (Equação 3) çãçãçã
Vamos resolver esse sistema passo a passo para encontrar os valores de , e .

Passo 6

Primeiro, podemos eliminar uma das variáveis. Vamos eliminar (4a + 2b + c) - (a + b + c) = 2 - 0 subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
3a + b = 2 (Equação 4)
Simplificando:
çã

Passo 7

Agora, vamos eliminar (a - b + c) - (a + b + c) = 1 - 0 novamente, dessa vez subtraindo a Equação 1 da Equação 3:
-2b = 1 Rightarrow b = -12
Simplificando:

Passo 8

Com o valor de 3a + (-12) = 2 encontrado, vamos substituir na Equação 4 para encontrar 3a = 2 + 12 3a = 52 a = 56 :
Resolvendo para :

Passo 9

Agora que temos 56 + (-12) + c = 0 e 56 - 36 + c = 0 26 + c = 0 c = -26 = -13 , vamos substituir esses valores na Equação 1 para encontrar :
Simplificando:

Resposta

O polinômio de segundo grau que passa pelos pontos p2(x) = 56x^2 - 12x - 13 , e é:

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