O polinômio de segundo grau, , cujo gráfico passa pelos pontos não colineares e pode ser obtido pela resolução de um sistema linear . Obtenha o polinômio de segundo grau cujo gráfico passa pelos pontos e .
Passo 1
Então, galera! A gente tem um exercício onde precisamos encontrar um polinômio de segundo grau, ou seja, da forma . Esse polinômio deve passar por três pontos específicos: , e . Para resolver isso, vamos usar um sistema de equações lineares . Precisamos achar os valores de , e que satisfazem todas as três condições impostas pelos pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o polinômio passar por esses pontos. Quando dizemos que passa pelo ponto , isso quer dizer que quando , deve ser igual a 0. Ou seja:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o mesmo raciocínio para o segundo ponto . Quando , :
Simplificando:
Passo 4
E para o terceiro ponto , temos:
Simplificando:
Passo 5
Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas:
Vamos resolver esse sistema passo a passo para encontrar os valores de , e .
Passo 6
Primeiro, podemos eliminar uma das variáveis. Vamos eliminar (4a + 2b + c) - (a + b + c) = 2 - 0 subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
3a + b = 2 (Equação 4)
Simplificando:
çã
Passo 7
Agora, vamos eliminar (a - b + c) - (a + b + c) = 1 - 0 novamente, dessa vez subtraindo a Equação 1 da Equação 3:
-2b = 1 Rightarrow b = -12
Simplificando:
Passo 8
Com o valor de 3a + (-12) = 2 encontrado, vamos substituir na Equação 4 para encontrar 3a = 2 + 12 3a = 52 a = 56 :
Resolvendo para :
Passo 9
Agora que temos 56 + (-12) + c = 0 e 56 - 36 + c = 0 26 + c = 0 c = -26 = -13 , vamos substituir esses valores na Equação 1 para encontrar :
Simplificando:
Resposta
O polinômio de segundo grau que passa pelos pontos p2(x) = 56x^2 - 12x - 13 , e é: