Escolha o método mais adequado e resolva o sistema (ccc-3 & 1 & 1 2 & 1 & -1 3 & 2 & 0)(lx1 x2 x3)=(l1 2 3)

Passo 1

Vamos resolver esse sistema de equações usando o método da Eliminação de Gauss. Temos três equações com três incógnitas ( x1, x2, x3). Para resolver, vamos transformar a matriz do sistema em uma forma triangular, facilitando a descoberta dos valores das incógnitas.

Passo 2

Primeiro, escrevemos o sistema de equações completo:
-3x1 + x2 + x3 = 1 2x1 + x2 - x3 = 2 3x1 + 2x2 = 3

Passo 3

Em seguida, montamos a matriz aumentada do sistema, que inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes:
-3 & 1 & 1 & | & 1 2 & 1 & -1 & | & 2 3 & 2 & 0 & | & 3

Passo 4

Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma triangular superior, onde abaixo da diagonal principal (de cima para baixo, da esquerda para a direita), todos os elementos são zeros. Isso facilita a resolução das equações de baixo para cima.

Passo 5

Vamos começar eliminando x1 das segunda e terceira equações. Para isso, manipulamos as linhas da matriz:
  1. Eliminar x1 da segunda linha:
    • Multiplicamos a primeira linha por dfrac2-3 para igualar os coeficientes de x1.
    • Então, adicionamos essa nova primeira linha à segunda linha.
Nova primeira linha = ( -3 times dfrac2-3 ) x1 + (1 times dfrac2-3)x2 + (1 times dfrac2-3)x3 = 1 times dfrac2-3
Rightarrow 2x1 - dfrac23x2 - dfrac23x3 = -dfrac23
Adicionando à segunda linha:
(2x1 + x2 - x3) + (2x1 - dfrac23x2 - dfrac23x3) = 2 - dfrac23
4x1 + dfrac13x2 - dfrac53x3 = dfrac43
  1. Eliminar x1 da terceira linha:
    • Multiplicamos a primeira linha por dfrac3-3 = -1.
    • Adicionamos essa nova primeira linha à terceira linha.
Nova primeira linha = -1 times (-3x1 + x2 + x3) = 3x1 - x2 - x3 = -1
Adicionando à terceira linha:
(3x1 + 2x2) + (3x1 - x2 - x3) = 3 - 1
6x1 + x2 - x3 = 2

Passo 6

Agora, nossa matriz fica assim:
-3 & 1 & 1 & | & 1 0 & dfrac13 & -dfrac53 & | & dfrac43 0 & 1 & -1 & | & 2

Passo 7

Vamos simplificar a segunda linha multiplicando todos os termos por 3 para eliminar os denominadores:
0x1 + x2 - 5x3 = 4
Atualizando a matriz:
-3 & 1 & 1 & | & 1 0 & 1 & -5 & | & 4 0 & 1 & -1 & | & 2

Passo 8

Agora, vamos eliminar x2 da terceira linha. Para isso, subtraímos a segunda linha da terceira linha:
(0x1 + 1x2 -1x3) - (0x1 +1x2 -5x3) = 2 - 4
0x1 + 0x2 +4x3 = -2
Nossa matriz fica:
-3 & 1 & 1 & | & 1 0 & 1 & -5 & | & 4 0 & 0 & 4 & | & -2

Passo 9

Agora, podemos resolver facilmente para x3:
4x3 = -2 Rightarrow x3 = -dfrac24 = -dfrac12

Passo 10

Com o valor de x3, vamos substituir na segunda equação para encontrar x2:
x2 -5x3 = 4 Rightarrow x2 -5(-dfrac12) = 4 Rightarrow x2 + dfrac52 = 4 Rightarrow x2 = 4 - dfrac52 = dfrac32

Passo 11

Finalmente, substituímos x2 e x3 na primeira equação para encontrar x1:
-3x1 + x2 + x3 = 1 Rightarrow -3x1 + dfrac32 - dfrac12 = 1
-3x1 + 1 = 1 Rightarrow -3x1 = 0 Rightarrow x1 = 0

Resposta

A solução do sistema é:
x1 = 0, x2 = dfrac32, x3 = -dfrac12

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