Resolva os seguintes sistemas com e sem pivotação parcial, utilizando o método de Cholesky e considerando duas casas decimais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações com quatro incógnitas:
O conteúdo que vamos usar aqui é o método de Cholesky, que é uma técnica para resolver sistemas de equações lineares quando a matriz dos coeficientes é simétrica e positiva definida. Vamos precisar escrever a matriz dos coeficientes, verificar se ela é simétrica, e depois aplicar o método com e sem pivotação parcial. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes e o vetor dos resultados:
Perceba que a matriz é simétrica porque , ou seja, os elementos acima da diagonal são iguais aos abaixo.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método de Cholesky sem pivotação parcial. A ideia do Cholesky é decompor a matriz em duas matrizes, e , onde é uma matriz triangular inferior e é a sua transposta. A relação é:
Vamos encontrar passo a passo.

Passo 4

Começamos preenchendo os elementos de . O primeiro elemento é:

Passo 5

Agora, calculamos os elementos da primeira coluna de :

Passo 6

Em seguida, calculamos :

Passo 7

Calculamos os elementos da segunda coluna de :

Passo 8

Agora, calculamos :

Passo 9

Calculamos :

Passo 10

Finalmente, calculamos :
Ops! Aqui percebemos que a matriz não é positiva definida porque estamos tentando tirar a raiz de um número negativo. Isso significa que o método de Cholesky sem pivotação não funcionou. Precisamos então tentar com pivotação parcial.

Passo 11

Como o Cholesky sem pivotação falhou, vamos aplicar a pivotação parcial. Isso envolve reordenar as linhas da matriz para que os elementos da diagonal principal sejam os maiores possíveis, ajudando a garantir que a matriz seja positiva definida.
Vamos reordenar as linhas para que o maior elemento absoluto na primeira coluna fique na primeira posição. Olhando para a primeira coluna:
  • Linha 1: 4
  • Linha 2: -2
  • Linha 3: 4
  • Linha 4: 10
O maior valor absoluto é 10 na Linha 4. Então, vamos trocar a Linha 1 com a Linha 4.
Nova matriz e vetor :

Passo 12

Agora, aplicamos o método de Cholesky na matriz reordenada.
Calculamos :

Passo 13

Calculamos os elementos da primeira coluna de :

Passo 14

Calculamos :

Passo 15

Calculamos os elementos da segunda coluna de :

Passo 16

Calculamos :

Passo 17

Calculamos :

Passo 18

Finalmente, calculamos :

Passo 19

Agora que temos a matriz , podemos escrever:
E é a transposta dessa matriz.

Passo 20

Com , agora podemos resolver em duas etapas:
  1. Resolver para .
  2. Resolver para .
Vamos começar resolvendo .

Passo 21

Escrevemos as equações para :
Resolva cada equação sequencialmente.

Passo 22

Primeira equação:

Passo 23

Segunda equação:

Passo 24

Terceira equação:

Passo 25

Quarta equação:

Passo 26

Agora temos :
Vamos resolver para encontrar .

Passo 27

Escrevemos as equações para :
Vamos resolver de baixo para cima.

Passo 28

Quarta equação:

Passo 29

Terceira equação:

Passo 30

Segunda equação:

Passo 31

Primeira equação:

Resposta

A solução do sistema usando o método de Cholesky com pivotação parcial é:

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