Resolva os seguintes sistemas com e sem pivotação parcial, utilizando o método de Cholesky e considerando duas casas decimais.
l 4 x1-2 x2+4 x3+10 x4=2 -2 x1+2 x2-1 x3-7 x4=2 4 x1-1 x2+14 x3+11 x4=-1 10 x1-7 x2-11 x3+31 x4=-2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações com quatro incógnitas:
l 4 x1 - 2 x2 + 4 x3 + 10 x4 = 2 -2 x1 + 2 x2 - 1 x3 - 7 x4 = 2 4 x1 - 1 x2 + 14 x3 + 11 x4 = -1 10 x1 - 7 x2 - 11 x3 + 31 x4 = -2
O conteúdo que vamos usar aqui é o método de Cholesky, que é uma técnica para resolver sistemas de equações lineares quando a matriz dos coeficientes é simétrica e positiva definida. Vamos precisar escrever a matriz dos coeficientes, verificar se ela é simétrica, e depois aplicar o método com e sem pivotação parcial. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes e o vetor dos resultados:
A = 4 & -2 & 4 & 10 -2 & 2 & -1 & -7 4 & -1 & 14 & 11 10 & -7 & -11 & 31 , b = 2 2 -1 -2
Perceba que a matriz é simétrica porque , ou seja, os elementos acima da diagonal são iguais aos abaixo.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método de Cholesky sem pivotação parcial. A ideia do Cholesky é decompor a matriz A = L L^T em duas matrizes, e , onde é uma matriz triangular inferior e é a sua transposta. A relação é:
Vamos encontrar passo a passo.

Passo 4

Começamos preenchendo os elementos de L11 = raizA11 = raiz4 = 2 . O primeiro elemento é:

Passo 5

Agora, calculamos os elementos da primeira coluna de L21 = A21L11 = -22 = -1 :
L31 = A31L11 = 42 = 2
L41 = A41L11 = 102 = 5

Passo 6

Em seguida, calculamos L22 = raizA22 - L21^2 = raiz2 - (-1)^2 = raiz2 - 1 = 1 :

Passo 7

Calculamos os elementos da segunda coluna de L32 = A32 - L31 L21L22 = -1 - (2)(-1)1 = -1 + 21 = 1 :
L42 = A42 - L41 L21L22 = -7 - (5)(-1)1 = -7 + 51 = -2

Passo 8

Agora, calculamos L33 = raizA33 - L31^2 - L32^2 = raiz14 - 2^2 - 1^2 = raiz14 - 4 - 1 = raiz9 = 3 :

Passo 9

Calculamos L43 = A43 - L41 L31 - L42 L32L33 = -11 - (5)(2) - (-2)(1)3 = -11 -10 +23 = -193 approx -6.33 :

Passo 10

Finalmente, calculamos L44 = raizA44 - L41^2 - L42^2 - L43^2 = raiz31 - 5^2 - (-2)^2 - (-6.33)^2 approx raiz31 - 25 - 4 - 40.07 = raiz-38.07 :
Ops! Aqui percebemos que a matriz não é positiva definida porque estamos tentando tirar a raiz de um número negativo. Isso significa que o método de Cholesky sem pivotação não funcionou. Precisamos então tentar com pivotação parcial.

Passo 11

Como o Cholesky sem pivotação falhou, vamos aplicar a pivotação parcial. Isso envolve reordenar as linhas da matriz A = 10 & -7 & -11 & 31 -2 & 2 & -1 & -7 4 & -1 & 14 & 11 4 & -2 & 4 & 10 , b = -2 2 -1 2 para que os elementos da diagonal principal sejam os maiores possíveis, ajudando a garantir que a matriz seja positiva definida.
Vamos reordenar as linhas para que o maior elemento absoluto na primeira coluna fique na primeira posição. Olhando para a primeira coluna:
  • Linha 1: 4
  • Linha 2: -2
  • Linha 3: 4
  • Linha 4: 10
O maior valor absoluto é 10 na Linha 4. Então, vamos trocar a Linha 1 com a Linha 4.
Nova matriz e vetor :

Passo 12

Agora, aplicamos o método de Cholesky na matriz reordenada.
Calculamos L11 = raizA11 = raiz10 approx 3.16 :

Passo 13

Calculamos os elementos da primeira coluna de L21 = A21L11 = -23.16 approx -0.63 :
L31 = A31L11 = 43.16 approx 1.27
L41 = A41L11 = 43.16 approx 1.27

Passo 14

Calculamos L22 = raizA22 - L21^2 = raiz2 - (-0.63)^2 approx raiz2 - 0.40 approx raiz1.60 approx 1.26 :

Passo 15

Calculamos os elementos da segunda coluna de L32 = A32 - L31 L21L22 = -1 - (1.27)(-0.63)1.26 approx -1 + 0.801.26 approx -0.201.26 approx -0.16 :
L42 = A42 - L41 L21L22 = -2 - (1.27)(-0.63)1.26 approx -2 + 0.801.26 approx -1.201.26 approx -0.95

Passo 16

Calculamos L33 = raizA33 - L31^2 - L32^2 approx raiz14 - (1.27)^2 - (-0.16)^2 approx raiz14 - 1.61 - 0.03 approx raiz12.36 approx 3.52 :

Passo 17

Calculamos L43 = A43 - L41 L31 - L42 L32L33 approx 4 - (1.27)(1.27) - (-0.95)(-0.16)3.52 approx 4 - 1.61 - 0.153.52 approx 2.243.52 approx 0.64 :

Passo 18

Finalmente, calculamos L44 = raizA44 - L41^2 - L42^2 - L43^2 approx raiz10 - (1.27)^2 - (-0.95)^2 - (0.64)^2 approx raiz10 - 1.61 - 0.90 - 0.41 approx raiz6.08 approx 2.47 :

Passo 19

Agora que temos a matriz L approx 3.16 & 0 & 0 & 0 -0.63 & 1.26 & 0 & 0 1.27 & -0.16 & 3.52 & 0 1.27 & -0.95 & 0.64 & 2.47 , podemos escrever:
E é a transposta dessa matriz.

Passo 20

Com , agora podemos resolver em duas etapas:
  1. Resolver para .
  2. Resolver para .
Vamos começar resolvendo .

Passo 21

Escrevemos as equações para 3.16 y1 = -2 -0.63 y1 + 1.26 y2 = 2 1.27 y1 - 0.16 y2 + 3.52 y3 = -1 1.27 y1 - 0.95 y2 + 0.64 y3 + 2.47 y4 = 2 :
Resolva cada equação sequencialmente.

Passo 22

Primeira equação:
3.16 y1 = -2 implies y1 = -23.16 approx -0.63

Passo 23

Segunda equação:
-0.63 (-0.63) + 1.26 y2 = 2 implies 0.40 + 1.26 y2 = 2 implies 1.26 y2 = 1.60 implies y2 approx 1.27

Passo 24

Terceira equação:
1.27 (-0.63) - 0.16 (1.27) + 3.52 y3 = -1 implies -0.80 - 0.20 + 3.52 y3 = -1 implies 3.52 y3 = 0 implies y3 = 0

Passo 25

Quarta equação:
1.27 (-0.63) - 0.95 (1.27) + 0.64 (0) + 2.47 y4 = 2 implies -0.80 - 1.21 + 0 + 2.47 y4 = 2 implies 2.47 y4 = 4.01 implies y4 approx 1.62

Passo 26

Agora temos y approx -0.63 1.27 0 1.62 :
Vamos resolver para encontrar .

Passo 27

Escrevemos as equações para 3.16 x1 - 0.63 x2 + 1.27 x3 + 1.27 x4 = -0.63 0 + 1.26 x2 - 0.16 x3 - 0.95 x4 = 1.27 0 + 0 + 3.52 x3 + 0.64 x4 = 0 0 + 0 + 0 + 2.47 x4 = 1.62 :
Vamos resolver de baixo para cima.

Passo 28

Quarta equação:
2.47 x4 = 1.62 implies x4 = 1.622.47 approx 0.66

Passo 29

Terceira equação:
3.52 x3 + 0.64 (0.66) = 0 implies 3.52 x3 + 0.42 = 0 implies 3.52 x3 = -0.42 implies x3 approx -0.12

Passo 30

Segunda equação:
1.26 x2 - 0.16 (-0.12) - 0.95 (0.66) = 1.27 implies 1.26 x2 + 0.02 - 0.63 = 1.27 implies 1.26 x2 - 0.61 = 1.27 implies 1.26 x2 = 1.88 implies x2 approx 1.49

Passo 31

Primeira equação:
3.16 x1 - 0.63 (1.49) + 1.27 (-0.12) + 1.27 (0.66) = -0.63 implies 3.16 x1 - 0.94 - 0.15 + 0.84 = -0.63
3.16 x1 - 0.25 = -0.63 implies 3.16 x1 = -0.38 implies x1 approx -0.12

Resposta

A solução do sistema usando o método de Cholesky com pivotação parcial é:
x1 approx -0.12 x2 approx 1.49 x3 approx -0.12 x4 approx 0.66

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