Resolva os seguintes sistemas com e sem pivotação parcial, utilizando o método de Cholesky e considerando duas casas decimais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações com quatro incógnitas:
O conteúdo que vamos usar aqui é o método de Cholesky, que é uma técnica para resolver sistemas de equações lineares quando a matriz dos coeficientes é simétrica e positiva definida. Vamos precisar escrever a matriz dos coeficientes, verificar se ela é simétrica, e depois aplicar o método com e sem pivotação parcial. Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes e o vetor dos resultados:
Perceba que a matriz é simétrica porque , ou seja, os elementos acima da diagonal são iguais aos abaixo.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o método de Cholesky sem pivotação parcial. A ideia do Cholesky é decompor a matriz em duas matrizes, e , onde é uma matriz triangular inferior e é a sua transposta. A relação é:
Vamos encontrar passo a passo.
Passo 4
Começamos preenchendo os elementos de . O primeiro elemento é:
Passo 5
Agora, calculamos os elementos da primeira coluna de :
Passo 6
Em seguida, calculamos :
Passo 7
Calculamos os elementos da segunda coluna de :
Passo 8
Agora, calculamos :
Passo 9
Calculamos :
Passo 10
Finalmente, calculamos :
Ops! Aqui percebemos que a matriz não é positiva definida porque estamos tentando tirar a raiz de um número negativo. Isso significa que o método de Cholesky sem pivotação não funcionou. Precisamos então tentar com pivotação parcial.
Passo 11
Como o Cholesky sem pivotação falhou, vamos aplicar a pivotação parcial. Isso envolve reordenar as linhas da matriz para que os elementos da diagonal principal sejam os maiores possíveis, ajudando a garantir que a matriz seja positiva definida.
Vamos reordenar as linhas para que o maior elemento absoluto na primeira coluna fique na primeira posição. Olhando para a primeira coluna:
Linha 1: 4
Linha 2: -2
Linha 3: 4
Linha 4: 10
O maior valor absoluto é 10 na Linha 4. Então, vamos trocar a Linha 1 com a Linha 4.
Nova matriz e vetor :
Passo 12
Agora, aplicamos o método de Cholesky na matriz reordenada.
Calculamos :
Passo 13
Calculamos os elementos da primeira coluna de :
Passo 14
Calculamos :
Passo 15
Calculamos os elementos da segunda coluna de :
Passo 16
Calculamos :
Passo 17
Calculamos :
Passo 18
Finalmente, calculamos :
Passo 19
Agora que temos a matriz , podemos escrever:
E é a transposta dessa matriz.
Passo 20
Com , agora podemos resolver em duas etapas:
Resolver para .
Resolver para .
Vamos começar resolvendo .
Passo 21
Escrevemos as equações para :
Resolva cada equação sequencialmente.
Passo 22
Primeira equação:
Passo 23
Segunda equação:
Passo 24
Terceira equação:
Passo 25
Quarta equação:
Passo 26
Agora temos :
Vamos resolver para encontrar .
Passo 27
Escrevemos as equações para :
Vamos resolver de baixo para cima.
Passo 28
Quarta equação:
Passo 29
Terceira equação:
Passo 30
Segunda equação:
Passo 31
Primeira equação:
Resposta
A solução do sistema usando o método de Cholesky com pivotação parcial é: