O conteúdo que vamos usar aqui é o método de Cholesky, que é uma técnica para resolver sistemas de equações lineares quando a matriz dos coeficientes é simétrica e positiva definida. Vamos precisar escrever a matriz dos coeficientes, verificar se ela é simétrica, e depois aplicar o método com e sem pivotação parcial. Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes e o vetor dos resultados:
Perceba que a matriz é simétrica porque , ou seja, os elementos acima da diagonal são iguais aos abaixo.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o método de Cholesky sem pivotação parcial. A ideia do Cholesky é decompor a matriz A = L L^T em duas matrizes, e , onde é uma matriz triangular inferior e é a sua transposta. A relação é:
Vamos encontrar passo a passo.
Passo 4
Começamos preenchendo os elementos de L11 = raizA11 = raiz4 = 2 . O primeiro elemento é:
Passo 5
Agora, calculamos os elementos da primeira coluna de L21 = A21L11 = -22 = -1 :
Ops! Aqui percebemos que a matriz não é positiva definida porque estamos tentando tirar a raiz de um número negativo. Isso significa que o método de Cholesky sem pivotação não funcionou. Precisamos então tentar com pivotação parcial.
Passo 11
Como o Cholesky sem pivotação falhou, vamos aplicar a pivotação parcial. Isso envolve reordenar as linhas da matriz A = 10 & -7 & -11 & 31 -2 & 2 & -1 & -7 4 & -1 & 14 & 11 4 & -2 & 4 & 10 , b = -2 2 -1 2 para que os elementos da diagonal principal sejam os maiores possíveis, ajudando a garantir que a matriz seja positiva definida.
Vamos reordenar as linhas para que o maior elemento absoluto na primeira coluna fique na primeira posição. Olhando para a primeira coluna:
Linha 1: 4
Linha 2: -2
Linha 3: 4
Linha 4: 10
O maior valor absoluto é 10 na Linha 4. Então, vamos trocar a Linha 1 com a Linha 4.
Nova matriz e vetor :
Passo 12
Agora, aplicamos o método de Cholesky na matriz reordenada.
Calculamos L11 = raizA11 = raiz10 approx 3.16 :
Passo 13
Calculamos os elementos da primeira coluna de L21 = A21L11 = -23.16 approx -0.63 :