Trabalhando com arrendondamento para dois dígitos significativos em todas as operações, resolva o sistema linear abaixo utilizando o método de Eliminação de Gauss, sem e com pivotamento parcial. Disserte sobre os resultados obtidos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando o Método de Eliminação de Gauss. A gente vai trabalhar com arredondamento para dois dígitos significativos em todas as operações. Primeiro, vamos entender o que temos aqui:
A matéria que vamos usar é Álgebra Linear, especificamente o Método de Eliminação de Gauss, que serve para resolver sistemas de equações lineares. Precisamos fazer algumas operações para simplificar o sistema e encontrar os valores de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de matriz aumentada:
Isso nos ajuda a visualizar melhor as operações que vamos fazer.
Passo 3
Nosso objetivo é eliminar o elemento abaixo do primeiro coeficiente (
) para deixar a matriz triangular. Para isso, vamos multiplicar a primeira linha por um fator que vai zerar o elemento
da segunda linha.
Calculamos o fator:
Arredondando para dois dígitos significativos, temos
.
Passo 4
Agora, vamos multiplicar a primeira linha por
e subtrair da segunda linha:
Primeira linha multiplicada por
:
Subtraindo essa da segunda linha:
Arredondando para dois dígitos significativos:
Passo 5
Agora, vamos resolver para
:
Arredondando para dois dígitos significativos.
Passo 6
Com
, vamos substituir na primeira equação para encontrar
:
Arredondando para dois dígitos significativos.
Passo 7
Agora, vamos refazer o procedimento usando o Método de Eliminação de Gauss com Pivotamento Parcial. Isso significa que vamos trocar as linhas se necessário para melhorar a precisão dos cálculos.
Passo 8
Observando nossa matriz aumentada:
Vemos que o primeiro elemento da primeira coluna é
e o da segunda linha é
. Como
, não precisamos trocar as linhas. Continuamos com o mesmo procedimento.
Passo 9
Repetimos os passos anteriores já que não houve necessidade de troca:
Encontramos
e
.
Passo 10
Comparando os resultados, percebemos que usando ou não o Pivotamento Parcial, os valores obtidos são os mesmos. Isso aconteceu porque o sistema inicial já estava em uma posição favorável para a eliminação sem necessidade de troca de linhas.
Resposta
Tanto com o Método de Eliminação de Gauss sem Pivotamento Parcial quanto com Pivotamento Parcial, a solução arredondada para dois dígitos significativos do sistema é:
Isso mostra que, para este sistema específico, o pivotamento parcial não fez diferen��a no resultado final.