Faça (à mão) duas iterações do método da secante para resolver a equação
, partindo de
e
. Verifique, em cada iteração, se pelo menos um dos critérios de parada do método é satisfeito para uma tolerância de
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver a equação
usando o método da secante. Esse método faz parte do conteúdo de Métodos Numéricos, especificamente para encontrar raízes de equações não lineares. Para isso, precisamos de dois valores iniciais, que neste caso são
e
. Vamos também usar uma tolerância
para verificar se já chegamos perto o bastante da solução.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como funciona o método da secante. A ideia é usar uma aproximação linear (uma secante) entre dois pontos da função para encontrar uma nova estimativa da raiz. A fórmula para calcular a próxima iteração
é:
Onde
.
Vamos calcular
e
primeiro:
Agora, aplicando a fórmula:
Então, a nova estimativa é
.
Agora, vamos verificar os critérios de parada:
- Diferença entre as estimativas:
- Valor da função na nova estimativa:
Nenhum dos critérios foi satisfeito, então precisamos continuar.
Passo 3
Agora, vamos fazer a segunda iteração usando os pontos mais recentes:
e
.
Primeiro, calculamos
e
:
Aplicando a fórmula da secante:
Então, a nova estimativa é
.
Agora, verificamos novamente os critérios de parada:
- Diferença entre as estimativas:
- Valor da função na nova estimativa:
Ainda não atendemos os critérios de parada, mas já fizemos duas iterações conforme solicitado.
Resposta
Após duas iterações do método da secante, as estimativas são
e
. Em nenhuma das iterações os critérios de parada foram satisfeitos com a tolerância
.
Exercícios relacionados
Obtenha uma função
de forma que a equação
tenha uma raiz no mesmo valor de
que resolve o problema de otimização. Escreva o processo iterativo do método de Newton aplicado a
.
O método da bisseção pode ser aplicado na resolução da equação
? Justifique.
Escreva a iteração do método de Newton para este problema e faça (à mão) três iterações para estimar
, partindo de
e sem efetuar qualquer divisão durante os cálculos.
Seja
e considere a tarefa de resolver a equaccão
pelo método de Newton. Determine
e
de forma que o método gera uma sequência numérica divergente que alterna entre os valores 1 e 2 .