Faça (à mão) duas iterações do método da secante para resolver a equação x^2-3=0, partindo de x0=0 e x1=1. Verifique, em cada iteração, se pelo menos um dos critérios de parada do método é satisfeito para uma tolerância de epsilon=10^-3.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a equação usando o método da secante. Esse método faz parte do conteúdo de Métodos Numéricos, especificamente para encontrar raízes de equações não lineares. Para isso, precisamos de dois valores iniciais, que neste caso são e . Vamos também usar uma tolerância para verificar se já chegamos perto o bastante da solução.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como funciona o método da secante. A ideia é usar uma aproximação linear (uma secante) entre dois pontos da função para encontrar uma nova estimativa da raiz. A fórmula para calcular a próxima iteração x2 = x1 - f(x1) cdot x1 - x0f(x1) - f(x0) é:
f(x0) = f(0) = 0^2 - 3 = -3
Onde f(x1) = f(1) = 1^2 - 3 = -2 .
Vamos calcular x2 = 1 - (-2) cdot 1 - 0-2 - (-3) = 1 - (-2) cdot 11 = 1 + 2 = 3 e |x2 - x1| = |3 - 1| = 2 primeiro:
2 > 10^-3
|f(3)| = |3^2 - 3| = |9 - 3| = 6
Agora, aplicando a fórmula:
6 > 10^-3
Então, a nova estimativa é .
Agora, vamos verificar os critérios de parada:
  1. Diferença entre as estimativas:
  1. Valor da função na nova estimativa:
Nenhum dos critérios foi satisfeito, então precisamos continuar.

Passo 3

Agora, vamos fazer a segunda iteração usando os pontos mais recentes: f(x1) = f(1) = -2 e f(x2) = f(3) = 6 .
Primeiro, calculamos x3 = 3 - 6 cdot 3 - 16 - (-2) = 3 - 6 cdot 28 = 3 - 6 cdot 0.25 = 3 - 1.5 = 1.5 e |x3 - x2| = |1.5 - 3| = 1.5 :
1.5 > 10^-3
|f(1.5)| = |1.5^2 - 3| = |2.25 - 3| = 0.75
Aplicando a fórmula da secante:
0.75 > 10^-3
Então, a nova estimativa é .
Agora, verificamos novamente os critérios de parada:
  1. Diferença entre as estimativas:
  1. Valor da função na nova estimativa:
Ainda não atendemos os critérios de parada, mas já fizemos duas iterações conforme solicitado.

Resposta

Após duas iterações do método da secante, as estimativas são e . Em nenhuma das iterações os critérios de parada foram satisfeitos com a tolerância .

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