Obtenha uma função f(x) de forma que a equação f(x)=0 tenha uma raiz no mesmo valor de x que resolve o problema de otimização. Escreva o processo iterativo do método de Newton aplicado a f.

Passo 1

Vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um problema de otimização, ou seja, queremos encontrar o valor de x que maximiza ou minimiza uma certa função. A questão nos pede para encontrar uma função f(x) tal que a equação f(x) = 0 tenha uma raiz no mesmo valor de x que resolve esse problema de otimização. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo, como derivadas, e também o método de Newton para encontrar raízes de funções.

Passo 2

Bom, para resolver um problema de otimização, geralmente a gente está tentando encontrar o ponto onde a função atinge seu máximo ou mínimo. Para isso, calculamos a derivada da função e igualamos a zero, ou seja, buscamos resolver g'(x) = 0, onde g(x) é a função que estamos otimizando.
Então, se definirmos nossa função f(x) como a derivada de g(x), temos que resolver f(x) = g'(x) = 0 vai nos dar os pontos onde a função g(x) tem seus extremos.

Passo 3

Agora que já sabemos que f(x) = g'(x), precisamos escrever o processo iterativo do método de Newton aplicado a f. O método de Newton é uma técnica para encontrar raízes de funções, ou seja, valores de x que satisfazem f(x) = 0. A fórmula do método de Newton é:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Onde:
  • xn é a aproximação atual da raiz,
  • xn+1 é a nova aproximação,
  • f(xn) é o valor da função na aproximação atual,
  • f'(xn) é o valor da derivada da função na aproximação atual.

Resposta

A função buscada é f(x) = g'(x), e o processo iterativo do método de Newton aplicado a f é dado por:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn) = xn - g'(xn)g''(xn)

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