Obtenha uma função
de forma que a equação
tenha uma raiz no mesmo valor de
que resolve o problema de otimização. Escreva o processo iterativo do método de Newton aplicado a
.
Passo 1
Vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um problema de otimização, ou seja, queremos encontrar o valor de
que maximiza ou minimiza uma certa função. A questão nos pede para encontrar uma função
tal que a equação
tenha uma raiz no mesmo valor de
que resolve esse problema de otimização. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo, como derivadas, e também o método de Newton para encontrar raízes de funções.
Passo 2
Bom, para resolver um problema de otimização, geralmente a gente está tentando encontrar o ponto onde a função atinge seu máximo ou mínimo. Para isso, calculamos a derivada da função e igualamos a zero, ou seja, buscamos resolver
, onde
é a função que estamos otimizando.
Então, se definirmos nossa função
como a derivada de
, temos que resolver
vai nos dar os pontos onde a função
tem seus extremos.
Passo 3
Agora que já sabemos que
, precisamos escrever o processo iterativo do método de Newton aplicado a
. O método de Newton é uma técnica para encontrar raízes de funções, ou seja, valores de
que satisfazem
. A fórmula do método de Newton é:
Onde:
-
é a aproximação atual da raiz, -
é a nova aproximação, -
é o valor da função na aproximação atual, -
é o valor da derivada da função na aproximação atual.
Resposta
A função buscada é
, e o processo iterativo do método de Newton aplicado a
é dado por: