Seja
Descreve o algoritmo para calcular valores da função utilizando um sistema de ponto flutuante, tal que o erro relativo do resultado será da ordem do erro da representação.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos criar um algoritmo para calcular os valores dessa função usando ponto flutuante. O objetivo é que o erro relativo do resultado seja do mesmo tamanho que o erro da representação em ponto flutuante. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre aritmética de ponto flutuante e como minimizar erros de cálculo.

Passo 2

Quando calculamos diretamente, para valores grandes de , o termo fica muito próximo de , o que pode causar uma perda significativa de precisão devido ao cancelamento numérico. Isso acontece porque estamos subtraindo dois números muito próximos, e as casas decimais importantes podem se perder.

Passo 3

Para evitar essa perda de precisão, podemos manipular a expressão de forma a evitar a subtração direta. Vamos multiplicar e dividir a expressão por . Assim:

Passo 4

Simplificando o numerador usando a diferença de quadrados:
Então, a expressão fica:

Passo 5

Agora, a nova expressão evita a subtração de dois números próximos, minimizando assim o erro de arredondamento. Essa forma é mais estável numericamente e adequada para cálculos com ponto flutuante.

Passo 6

Com essa nova expressão, podemos descrever o algoritmo para calcular :
  1. Receber o valor de .
  2. Calcular .
  3. Tirar a raiz quadrada desse resultado.
  4. Somar ao valor calculado na raiz.
  5. Dividir 2 pelo resultado obtido na soma.
  6. Retornar o valor de .

Resposta

O algoritmo para calcular com erro relativo da ordem do erro da representação em ponto flutuante é:
  1. Receber .
  2. Calcular .
  3. Calcular .
  4. Somar ao resultado da raiz.
  5. Dividir 2 pelo valor obtido na soma.
  6. Retornar o resultado como .
Expressando matematicamente:

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