Seja
Descreve o algoritmo para calcular valores da função
utilizando um sistema de ponto flutuante, tal que o erro relativo do resultado será da ordem do erro da representação.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos criar um algoritmo para calcular os valores dessa função usando ponto flutuante. O objetivo é que o erro relativo do resultado seja do mesmo tamanho que o erro da representação em ponto flutuante. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre aritmética de ponto flutuante e como minimizar erros de cálculo.
Passo 2
Quando calculamos
diretamente, para valores grandes de
, o termo
fica muito próximo de
, o que pode causar uma perda significativa de precisão devido ao cancelamento numérico. Isso acontece porque estamos subtraindo dois números muito próximos, e as casas decimais importantes podem se perder.
Passo 3
Para evitar essa perda de precisão, podemos manipular a expressão de forma a evitar a subtração direta. Vamos multiplicar e dividir a expressão por
. Assim:
Passo 4
Simplificando o numerador usando a diferença de quadrados:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Agora, a nova expressão
evita a subtração de dois números próximos, minimizando assim o erro de arredondamento. Essa forma é mais estável numericamente e adequada para cálculos com ponto flutuante.
Passo 6
Com essa nova expressão, podemos descrever o algoritmo para calcular
:
- Receber o valor de
. - Calcular
. - Tirar a raiz quadrada desse resultado.
- Somar
ao valor calculado na raiz. - Dividir 2 pelo resultado obtido na soma.
- Retornar o valor de
.
Resposta
O algoritmo para calcular
com erro relativo da ordem do erro da representação em ponto flutuante é:
- Receber
. - Calcular
. - Calcular
. - Somar
ao resultado da raiz. - Dividir 2 pelo valor obtido na soma.
- Retornar o resultado como
.
Expressando matematicamente:
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.
Escreve a função de iteração para resolver a equação
utilizando o método de Newton-Raphson.
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converge para qualquer valor inicial
.
Qual equação vai resolver este algoritmo iterativo?
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