Uma esfera de ferro, oca, flutua quase totalmente submersa em água. O diâmetro externo é 47 cm e a massa específica do ferro é 7,87 g / cm^3. Determine o diâmetro interno

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma esfera oca de ferro que está quase totalmente submersa na água. O diâmetro externo dela é de 47 cm e a densidade do ferro é . Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o diâmetro interno dessa esfera. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de densidade e empuxo, que estão relacionados à flutuação de objetos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a esfera estar quase totalmente submersa. Isso implica que o empuxo que a água exerce sobre a esfera é praticamente igual ao peso da esfera. O empuxo ( E = Vsub times rhoágua times g ) pode ser calculado pela fórmula:
á
onde:
  • é o volume de água deslocado,
  • á é a densidade da água ( ),
  • é a aceleração da gravidade.
Como a esfera está quase totalmente submersa, podemos considerar .

Passo 3

Agora, vamos calcular o volume da esfera externa ( V = 43 pi r^3 ) e o volume da esfera interna ( rexterno = 472 = 23,5 , cm ). A fórmula para o volume de uma esfera é:
Vexterna = 43 pi (23,5)^3
Onde é o raio da esfera. Como o diâmetro externo é 47 cm, o raio externo ( ) é:
Portanto, o volume externo é:

Passo 4

O volume interno ( Vinterna = 43 pi rinterno^3 ) será similar, mas com um raio menor, que é o raio interno ( Vferro = Vexterna - Vinterna = 43 pi (23,5)^3 - 43 pi rinterno^3 ) que queremos encontrar:
O volume da massa de ferro é então a diferença entre o volume externo e o interno:

Passo 5

O peso da esfera de ferro ( P = m times g = rhoferro times Vferro times g ) é dado por:
Vexterna times rhoágua times g = rhoferro times (Vexterna - Vinterna) times g
Como o empuxo é igual ao peso, temos:
Vexterna times rhoágua = rhoferro times (Vexterna - Vinterna) á
Podemos simplificar de ambos os lados:
á

Passo 6

Substituindo os volumes:
43 pi (23,5)^3 times 1 = 7,87 times ( 43 pi (23,5)^3 - 43 pi rinterno^3 )
Podemos dividir ambos os lados por (23,5)^3 = 7,87 ( (23,5)^3 - rinterno^3 ) :

Passo 7

Vamos resolver para (23,5)^3 = 7,87 times (23,5)^3 - 7,87 times rinterno^3 :
7,87 times rinterno^3 = 7,87 times (23,5)^3 - (23,5)^3
Rearranjando:
rinterno^3 = 7,87 times (23,5)^3 - (23,5)^37,87
rinterno^3 = (23,5)^3 ( 7,87 - 17,87 )
rinterno^3 = (23,5)^3 times 6,877,87

Passo 8

Calculando os valores:
(23,5)^3 = 23,5 times 23,5 times 23,5 = 12917,375 , cm^3
6,877,87 approx 0,8739
rinterno^3 = 12917,375 times 0,8739 approx 11284,9 , cm^3
Agora, extraímos a raiz cúbica para encontrar rinterno = raiz[3]11284,9 approx 22,5 , cm :

Resposta

O diâmetro interno da esfera é aproximadamente 45 cm.

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