Uma esfera de ferro, oca, flutua quase totalmente submersa em água. O diâmetro externo é 47 cm e a massa específica do ferro é
. Determine o diâmetro interno
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma esfera oca de ferro que está quase totalmente submersa na água. O diâmetro externo dela é de 47 cm e a densidade do ferro é
. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o diâmetro interno dessa esfera. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de densidade e empuxo, que estão relacionados à flutuação de objetos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a esfera estar quase totalmente submersa. Isso implica que o empuxo que a água exerce sobre a esfera é praticamente igual ao peso da esfera. O empuxo (
) pode ser calculado pela fórmula:
onde:
-
é o volume de água deslocado, -
é a densidade da água ( ), -
é a aceleração da gravidade.
Como a esfera está quase totalmente submersa, podemos considerar
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o volume da esfera externa (
) e o volume da esfera interna (
). A fórmula para o volume de uma esfera é:
Onde
é o raio da esfera. Como o diâmetro externo é 47 cm, o raio externo (
) é:
Portanto, o volume externo é:
Passo 4
O volume interno (
) será similar, mas com um raio menor, que é o raio interno (
) que queremos encontrar:
O volume da massa de ferro é então a diferença entre o volume externo e o interno:
Passo 5
O peso da esfera de ferro (
) é dado por:
Como o empuxo é igual ao peso, temos:
Podemos simplificar
de ambos os lados:
Passo 6
Substituindo os volumes:
Podemos dividir ambos os lados por
:
Passo 7
Vamos resolver para
:
Rearranjando:
Passo 8
Calculando os valores:
Agora, extraímos a raiz cúbica para encontrar
:
Resposta
O diâmetro interno da esfera é aproximadamente 45 cm.