Uma esfera de ferro, oca, flutua quase totalmente submersa em água. O diâmetro externo é 47 cm e a massa específica do ferro é . Determine o diâmetro interno

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma esfera oca de ferro que está quase totalmente submersa na água. O diâmetro externo dela é de 47 cm e a densidade do ferro é . Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o diâmetro interno dessa esfera. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de densidade e empuxo, que estão relacionados à flutuação de objetos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a esfera estar quase totalmente submersa. Isso implica que o empuxo que a água exerce sobre a esfera é praticamente igual ao peso da esfera. O empuxo ( ) pode ser calculado pela fórmula:
á
onde:
  • é o volume de água deslocado,
  • á é a densidade da água ( ),
  • é a aceleração da gravidade.
Como a esfera está quase totalmente submersa, podemos considerar .

Passo 3

Agora, vamos calcular o volume da esfera externa ( ) e o volume da esfera interna ( ). A fórmula para o volume de uma esfera é:
Onde é o raio da esfera. Como o diâmetro externo é 47 cm, o raio externo ( ) é:
Portanto, o volume externo é:

Passo 4

O volume interno ( ) será similar, mas com um raio menor, que é o raio interno ( ) que queremos encontrar:
O volume da massa de ferro é então a diferença entre o volume externo e o interno:

Passo 5

O peso da esfera de ferro ( ) é dado por:
Como o empuxo é igual ao peso, temos:
á
Podemos simplificar de ambos os lados:
á

Passo 6

Substituindo os volumes:
Podemos dividir ambos os lados por :

Passo 7

Vamos resolver para :
Rearranjando:

Passo 8

Calculando os valores:
Agora, extraímos a raiz cúbica para encontrar :

Resposta

O diâmetro interno da esfera é aproximadamente 45 cm.

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