Estreitamente relacionada com a questão acima é a sequência cujo n-ésimo termo é bn=(1+1 / n)^n. Usando a fórmula do Binômio de Newton, verifique que esta é convergente.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma sequência definida por . O que precisamos fazer aqui é usar a Fórmula do Binômio de Newton para verificar se essa sequência converge, ou seja, se ela se aproxima de um valor fixo conforme aumenta. Para resolver isso, vamos precisar entender como expandir expressões com potências usando o binômio e como analisar o comportamento da sequência quando cresce indefinidamente.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Fórmula do Binômio de Newton. Ela nos diz que qualquer expressão da forma (a + b)^n = sumk=0^n binomnk a^n-k b^k pode ser expandida assim:
Onde é o coeficiente binomial, calculado por .

Passo 3

No nosso caso, temos (1 + 1n)^n = sumk=0^n binomnk 1^n-k (1n)^k e (1 + 1n)^n = sumk=0^n binomnk (1n)^k . Então, substituindo na fórmula, a expressão fica:
Como , simplificamos para:

Passo 4

Agora, vamos analisar essa soma. Cada termo da soma é dado por:
binomnk (1n)^k = n!k!(n - k)! cdot 1n^k
Simplificando, temos:
n(n - 1)(n - 2)dots(n - k + 1)k! cdot 1n^k = 1k! cdot (1 - 1n) (1 - 2n) dots (1 - k - 1n)

Passo 5

Quando (1 - mn) approx 1 tende para o infinito, cada fator 1k! (onde é um número fixo) se aproxima de 1. Portanto, para muito grande, podemos aproximar:
Então, a expressão se simplifica para:

Passo 6

Substituindo de volta na soma, temos que quando (1 + 1n)^n approx sumk=0^infty 1k! vai para o infinito:
E essa soma é conhecida como a série de Taylor para , que vale precisamente .

Passo 7

Portanto, concluímos que:
limn to infty (1 + 1n)^n = e

Resposta

A sequência é convergente e seu limite é , aproximadamente 2,71828.

Exercícios relacionados