Resolva os seguintes sistemas com e sem pivotação parcial, utilizando o método de Cholesky e considerando duas casas decimais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações com três variáveis usando o método de Cholesky. Esse método é legal porque ele decompõe a matriz do sistema em duas matrizes triangulares, facilitando a resolução. Para fazer isso, precisamos que a matriz do sistema seja simétrica e definida positiva. Além disso, vamos ver como a pivotação parcial pode ajudar na resolução, especialmente se tivermos números complicados ou zeros na diagonal.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a matriz dos coeficientes e o vetor dos termos constantes do sistema:
Observamos que a matriz é simétrica (), o que é ótimo porque o método de Cholesky exige isso. Agora, vamos verificar se é definida positiva. Uma matriz simétrica é definida positiva se todos os seus autovalores são positivos. Sem entrar em detalhes, vamos assumir que atende a esse requisito para seguir em frente.
Passo 3
Vamos decompor a matriz em duas matrizes triangulares e tal que:
Onde é uma matriz triangular inferior. Vamos encontrar os elementos de passo a passo.
Elemento :
Elemento :
Elemento :
Elemento :
Ops! Aqui vimos que o deu negativo, o que indica que a matriz não é definida positiva. Isso significa que o método de Cholesky sem pivotação não vai funcionar corretamente. Então, precisamos usar a pivotação parcial para rearranjar as linhas e tentar novamente.
Passo 4
Agora, vamos aplicar a pivotação parcial. Isso envolve trocar as linhas da matriz para que o maior elemento em valor absoluto da coluna atual fique na diagonal. Vamos começar pela primeira coluna.
Primeira coluna:
Os elementos são 1, -6 e 3. O maior em valor absoluto é 6 (linha 2). Então, trocamos a linha 1 com a linha 2.
Agora, verificamos se é definida positiva seguindo o método de Cholesky.
Passo 5
Vamos decompor a nova matriz :
Elemento :
Oops novamente! O termo deu negativo, o que significa que mesmo com a pivotação, a matriz não é definida positiva. Isso indica que o método de Cholesky não é adequado para resolver esse sistema específico.
Passo 6
Dado que o método de Cholesky não funcionou nem com nem sem pivotação para esse sistema, vamos optar por um método diferente, como eliminação de Gauss ou método de Gauss-Jordan, que não tem restrições quanto à definição positiva da matriz. No entanto, como a questão pede especificamente o método de Cholesky, concluímos que não é possível resolver esse sistema com esse método devido à natureza da matriz .
Resposta
Não foi possível resolver o sistema utilizando o método de Cholesky, mesmo aplicando a pivotação parcial, pois a matriz dos coeficientes não é definida positiva.