Resolva os seguintes sistemas com e sem pivotação parcial, utilizando o método de Eliminação de Gauss e considerando duas casas decimais.
ll -2 x1+3 x2+x3+5 x4 & =2 5 x1+x2-x3 & =-1 x1+6 x2+3 x3-x4 & =0 4 x1+5 x2+2 x3+8 x4 & =6

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o Método de Eliminação de Gauss, tanto com pivotação parcial quanto sem ela. O sistema é composto por quatro equações com quatro incógnitas:
ll -2 x1+3 x2+x3+5 x4 & =2 5 x1+x2-x3 & =-1 x1+6 x2+3 x3-x4 & =0 4 x1+5 x2+2 x3+8 x4 & =6
Vamos precisar aplicar operações nas linhas para transformar a matriz aumentada do sistema em uma forma triangular superior, ou seja, conseguir zeros abaixo da diagonal principal. Sem pivotação parcial, seguimos diretamente com as operações, e com pivotação parcial, escolhemos, em cada etapa, o melhor pivô para evitar erros de arredondamento.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver sem pivotação parcial. A matriz aumentada do sistema é:
-2 & 3 & 1 & 5 & | & 2 5 & 1 & -1 & 0 & | & -1 1 & 6 & 3 & -1 & | & 0 4 & 5 & 2 & 8 & | & 6

Passo 3

Vamos começar eliminando R2' = R2 - ( 5-2 ) R1 das equações abaixo da primeira. Para isso, usamos a primeira linha como referência.
Multiplicamos a primeira linha por R2' = 5 + ( 52 times 2 ) = 0, e assim por diante e subtraímos da segunda linha para eliminar -2 & 3 & 1 & 5 & | & 2 0 & 112 & -72 & 52 & | & 32 1 & 6 & 3 & -1 & | & 0 4 & 5 & 2 & 8 & | & 6 :
Realizando a operação:
Após as operações, a matriz fica:

Passo 4

Continuamos eliminando R3' = R3 - ( 1-2 ) R1 das linhas 3 e 4 usando a primeira linha.
Para a terceira linha:
R4' = R4 - ( 4-2 ) R1
Para a quarta linha:
-2 & 3 & 1 & 5 & | & 2 0 & 112 & -72 & 52 & | & 32 0 & 152 & 52 & 92 & | & 1 0 & 11 & 4 & 18 & | & 10
Após as operações, a matriz fica:

Passo 5

Agora, vamos eliminar R3' = R3 - ( 1511 ) R2 das equações abaixo da segunda linha. Usamos a segunda linha como referência.
Multiplicamos a segunda linha por R4' = R4 - 2 R2 e subtraímos da terceira linha:
-2 & 3 & 1 & 5 & | & 2 0 & 112 & -72 & 52 & | & 32 0 & 0 & 2011 & 1511 & | & 111 0 & 0 & 1111 & 8 & | & 7
E multiplicamos a segunda linha por e subtraímos da quarta linha:
Após as operações, a matriz fica:

Passo 6

Seguimos eliminando, agora R4' = R4 - 1120 R3 da quarta linha. Usamos a terceira linha como referência.
Multiplicamos a terceira linha por -2 & 3 & 1 & 5 & | & 2 0 & 112 & -72 & 52 & | & 32 0 & 0 & 2011 & 1511 & | & 111 0 & 0 & 0 & 14511 & | & 6911 e subtraímos da quarta linha:
Após a operação, a matriz fica:

Passo 7

Agora que a matriz está em forma triangular superior, podemos resolver as variáveis usando retro-substituição.
Da quarta equação:
14511 x4 = 6911 implies x4 = 69145 approx 0.48

Passo 8

Substituímos 2011 x3 + 1511(0.48) = 111 na terceira equação:
2011 x3 approx 111 - 1511 times 0.48 approx -611 implies x3 approx -0.30
Resolvendo:

Passo 9

Substituímos 112 x2 - 72(-0.30) + 52(0.48) = 32 e 112 x2 + 1.05 + 1.20 = 1.5 implies 112 x2 approx -0.75 implies x2 approx -0.14 na segunda equação:
Resolvendo:

Passo 10

Por fim, substituímos todas as variáveis encontradas na primeira equação:
-2 x1 + 3(-0.14) + (-0.30) + 5(0.48) = 2
Resolvendo:
-2 x1 - 0.42 - 0.30 + 2.40 = 2 implies -2 x1 + 1.68 = 2 implies x1 approx -0.16

Passo 11

Agora, vamos resolver o mesmo sistema com pivotação parcial. A ideia da pivotação parcial é selecionar, em cada etapa, a maior valor absoluto na coluna atual para ser o pivô, reduzindo erros numéricos.

Passo 12

A matriz aumentada é a mesma:
-2 & 3 & 1 & 5 & | & 2 5 & 1 & -1 & 0 & | & -1 1 & 6 & 3 & -1 & | & 0 4 & 5 & 2 & 8 & | & 6

Passo 13

Primeiro, observamos a coluna de 5 & 1 & -1 & 0 & | & -1 -2 & 3 & 1 & 5 & | & 2 1 & 6 & 3 & -1 & | & 0 4 & 5 & 2 & 8 & | & 6 . Os valores absolutos são 2, 5, 1, 4. O maior é 5 na segunda linha. Vamos trocar a primeira linha com a segunda:

Passo 14

Agora, eliminamos R2' = R2 - ( -25 ) R1 das linhas abaixo da primeira. Usamos a primeira linha como referência.
Para eliminar R3' = R3 - ( 15 ) R1 da segunda linha:
R4' = R4 - ( 45 ) R1
Para a terceira linha:
5 & 1 & -1 & 0 & | & -1 0 & 115 & 35 & 5 & | & 85 0 & 295 & 85 & -1 & | & 15 0 & 215 & 65 & 8 & | & 145
Para a quarta linha:
Após as operações, a matriz fica:

Passo 15

Agora, vamos eliminar R3' = R3 - ( 2911 ) R2 das linhas abaixo da segunda. Primeira, identificamos o maior elemento na coluna de R4' = R4 - ( 2111 ) R2 abaixo da segunda linha. Os valores são 5 & 1 & -1 & 0 & | & -1 0 & 115 & 35 & 5 & | & 85 0 & 0 & 1111 & -2911 & | & -2711 0 & 0 & 311 & 1911 & | & 2711 e . O maior é na terceira linha. Não precisamos trocar as linhas.
Vamos usar a segunda linha como referência.
Multiplicamos a segunda linha por e subtraímos da terceira linha:
E multiplicamos a segunda linha por e subtraímos da quarta linha:
Após as operações, a matriz fica:

Passo 16

Agora, eliminamos R4' = R4 - 3 R3 da quarta linha usando a terceira linha como referência.
Multiplicamos a terceira linha por 5 & 1 & -1 & 0 & | & -1 0 & 115 & 35 & 5 & | & 85 0 & 0 & 1 & -2911 & | & -2711 0 & 0 & 0 & 10611 & | & 10811 e subtraímos da quarta linha:
Após a operação:

Passo 17

Com a matriz triangularizada, fazemos a retro-substituição.
Da quarta equação:
10611 x4 = 10811 implies x4 = 108106 approx 1.02

Passo 18

Substituímos x3 - 2911(1.02) = -2711 na terceira equação:
x3 approx -2711 + 2911(1.02) approx 0.00
Resolvendo:

Passo 19

Substituímos 115 x2 + 35(0.00) + 5(1.02) = 85 e 115 x2 approx 85 - 5.10 approx -3.22 implies x2 approx -1.47 na segunda equação:
Resolvendo:

Passo 20

Por fim, substituímos todas as variáveis encontradas na primeira equação:
5 x1 + (-1.47) + (-0.00) + 0 = -1
Resolvendo:
5 x1 -1.47 = -1 implies 5 x1 approx 0.47 implies x1 approx 0.09

Resposta

Resolvendo com pivotação parcial, as soluções aproximadas com duas casas decimais são:
x1 approx 0.09, x2 approx -1.47, x3 approx 0.00, x4 approx 1.02

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