Resolva os seguintes sistemas com e sem pivotação parcial, utilizando o método de Eliminação de Gauss e considerando duas casas decimais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o Método de Eliminação de Gauss, tanto com pivotação parcial quanto sem ela. O sistema é composto por quatro equações com quatro incógnitas:
Vamos precisar aplicar operações nas linhas para transformar a matriz aumentada do sistema em uma forma triangular superior, ou seja, conseguir zeros abaixo da diagonal principal. Sem pivotação parcial, seguimos diretamente com as operações, e com pivotação parcial, escolhemos, em cada etapa, o melhor pivô para evitar erros de arredondamento.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver sem pivotação parcial. A matriz aumentada do sistema é:

Passo 3

Vamos começar eliminando das equações abaixo da primeira. Para isso, usamos a primeira linha como referência.
Multiplicamos a primeira linha por e subtraímos da segunda linha para eliminar :
Realizando a operação:
Após as operações, a matriz fica:

Passo 4

Continuamos eliminando das linhas 3 e 4 usando a primeira linha.
Para a terceira linha:
Para a quarta linha:
Após as operações, a matriz fica:

Passo 5

Agora, vamos eliminar das equações abaixo da segunda linha. Usamos a segunda linha como referência.
Multiplicamos a segunda linha por e subtraímos da terceira linha:
E multiplicamos a segunda linha por e subtraímos da quarta linha:
Após as operações, a matriz fica:

Passo 6

Seguimos eliminando, agora da quarta linha. Usamos a terceira linha como referência.
Multiplicamos a terceira linha por e subtraímos da quarta linha:
Após a operação, a matriz fica:

Passo 7

Agora que a matriz está em forma triangular superior, podemos resolver as variáveis usando retro-substituição.
Da quarta equação:

Passo 8

Substituímos na terceira equação:
Resolvendo:

Passo 9

Substituímos e na segunda equação:
Resolvendo:

Passo 10

Por fim, substituímos todas as variáveis encontradas na primeira equação:
Resolvendo:

Passo 11

Agora, vamos resolver o mesmo sistema com pivotação parcial. A ideia da pivotação parcial é selecionar, em cada etapa, a maior valor absoluto na coluna atual para ser o pivô, reduzindo erros numéricos.

Passo 12

A matriz aumentada é a mesma:

Passo 13

Primeiro, observamos a coluna de . Os valores absolutos são 2, 5, 1, 4. O maior é 5 na segunda linha. Vamos trocar a primeira linha com a segunda:

Passo 14

Agora, eliminamos das linhas abaixo da primeira. Usamos a primeira linha como referência.
Para eliminar da segunda linha:
Para a terceira linha:
Para a quarta linha:
Após as operações, a matriz fica:

Passo 15

Agora, vamos eliminar das linhas abaixo da segunda. Primeira, identificamos o maior elemento na coluna de abaixo da segunda linha. Os valores são e . O maior é na terceira linha. Não precisamos trocar as linhas.
Vamos usar a segunda linha como referência.
Multiplicamos a segunda linha por e subtraímos da terceira linha:
E multiplicamos a segunda linha por e subtraímos da quarta linha:
Após as operações, a matriz fica:

Passo 16

Agora, eliminamos da quarta linha usando a terceira linha como referência.
Multiplicamos a terceira linha por e subtraímos da quarta linha:
Após a operação:

Passo 17

Com a matriz triangularizada, fazemos a retro-substituição.
Da quarta equação:

Passo 18

Substituímos na terceira equação:
Resolvendo:

Passo 19

Substituímos e na segunda equação:
Resolvendo:

Passo 20

Por fim, substituímos todas as variáveis encontradas na primeira equação:
Resolvendo:

Resposta

Resolvendo com pivotação parcial, as soluções aproximadas com duas casas decimais são:

Exercícios relacionados

Resolva os seguintes sistemas com e sem pivotação parcial, utilizando o método de Cholesky e considerando duas casas decimais.
Dada a matriz calcular
Resolva os seguintes sistemas com e sem pivotação parcial, utilizando o método de Cholesky e considerando duas casas decimais.