Resolva os seguintes sistemas com e sem pivotação parcial, utilizando o método de Eliminação de Gauss e considerando duas casas decimais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o Método de Eliminação de Gauss, tanto com pivotação parcial quanto sem ela. O sistema é composto por quatro equações com quatro incógnitas:
Vamos precisar aplicar operações nas linhas para transformar a matriz aumentada do sistema em uma forma triangular superior, ou seja, conseguir zeros abaixo da diagonal principal. Sem pivotação parcial, seguimos diretamente com as operações, e com pivotação parcial, escolhemos, em cada etapa, o melhor pivô para evitar erros de arredondamento.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver sem pivotação parcial. A matriz aumentada do sistema é:
Passo 3
Vamos começar eliminando
R2' = R2 - ( 5-2 ) R1 das equações abaixo da primeira. Para isso, usamos a primeira linha como referência.
Multiplicamos a primeira linha por
R2' = 5 + ( 52 times 2 ) = 0, e assim por diante e subtraímos da segunda linha para eliminar
-2 & 3 & 1 & 5 & | & 2 0 & 112 & -72 & 52 & | & 32 1 & 6 & 3 & -1 & | & 0 4 & 5 & 2 & 8 & | & 6 :
Realizando a operação:
Após as operações, a matriz fica:
Passo 4
Continuamos eliminando
R3' = R3 - ( 1-2 ) R1 das linhas 3 e 4 usando a primeira linha.
Para a terceira linha:
Para a quarta linha:
Após as operações, a matriz fica:
Passo 5
Agora, vamos eliminar
R3' = R3 - ( 1511 ) R2 das equações abaixo da segunda linha. Usamos a segunda linha como referência.
Multiplicamos a segunda linha por
R4' = R4 - 2 R2 e subtraímos da terceira linha:
E multiplicamos a segunda linha por
e subtraímos da quarta linha:
Após as operações, a matriz fica:
Passo 6
Seguimos eliminando, agora
R4' = R4 - 1120 R3 da quarta linha. Usamos a terceira linha como referência.
Multiplicamos a terceira linha por
-2 & 3 & 1 & 5 & | & 2 0 & 112 & -72 & 52 & | & 32 0 & 0 & 2011 & 1511 & | & 111 0 & 0 & 0 & 14511 & | & 6911 e subtraímos da quarta linha:
Após a operação, a matriz fica:
Passo 7
Agora que a matriz está em forma triangular superior, podemos resolver as variáveis usando retro-substituição.
Da quarta equação:
Passo 8
Substituímos
2011 x3 + 1511(0.48) = 111 na terceira equação:
Resolvendo:
Passo 9
Substituímos
112 x2 - 72(-0.30) + 52(0.48) = 32 e
112 x2 + 1.05 + 1.20 = 1.5 implies 112 x2 approx -0.75 implies x2 approx -0.14 na segunda equação:
Resolvendo:
Passo 10
Por fim, substituímos todas as variáveis encontradas na primeira equação:
Resolvendo:
Passo 11
Agora, vamos resolver o mesmo sistema com pivotação parcial. A ideia da pivotação parcial é selecionar, em cada etapa, a maior valor absoluto na coluna atual para ser o pivô, reduzindo erros numéricos.
Passo 12
A matriz aumentada é a mesma:
Passo 13
Primeiro, observamos a coluna de
5 & 1 & -1 & 0 & | & -1 -2 & 3 & 1 & 5 & | & 2 1 & 6 & 3 & -1 & | & 0 4 & 5 & 2 & 8 & | & 6 . Os valores absolutos são 2, 5, 1, 4. O maior é 5 na segunda linha. Vamos trocar a primeira linha com a segunda:
Passo 14
Agora, eliminamos
R2' = R2 - ( -25 ) R1 das linhas abaixo da primeira. Usamos a primeira linha como referência.
Para eliminar
R3' = R3 - ( 15 ) R1 da segunda linha:
Para a terceira linha:
Para a quarta linha:
Após as operações, a matriz fica:
Passo 15
Agora, vamos eliminar
R3' = R3 - ( 2911 ) R2 das linhas abaixo da segunda. Primeira, identificamos o maior elemento na coluna de
R4' = R4 - ( 2111 ) R2 abaixo da segunda linha. Os valores são
5 & 1 & -1 & 0 & | & -1 0 & 115 & 35 & 5 & | & 85 0 & 0 & 1111 & -2911 & | & -2711 0 & 0 & 311 & 1911 & | & 2711 e
. O maior é
na terceira linha. Não precisamos trocar as linhas.
Vamos usar a segunda linha como referência.
Multiplicamos a segunda linha por
e subtraímos da terceira linha:
E multiplicamos a segunda linha por
e subtraímos da quarta linha:
Após as operações, a matriz fica:
Passo 16
Agora, eliminamos
R4' = R4 - 3 R3 da quarta linha usando a terceira linha como referência.
Multiplicamos a terceira linha por
5 & 1 & -1 & 0 & | & -1 0 & 115 & 35 & 5 & | & 85 0 & 0 & 1 & -2911 & | & -2711 0 & 0 & 0 & 10611 & | & 10811 e subtraímos da quarta linha:
Após a operação:
Passo 17
Com a matriz triangularizada, fazemos a retro-substituição.
Da quarta equação:
Passo 18
Substituímos
x3 - 2911(1.02) = -2711 na terceira equação:
Resolvendo:
Passo 19
Substituímos
115 x2 + 35(0.00) + 5(1.02) = 85 e
115 x2 approx 85 - 5.10 approx -3.22 implies x2 approx -1.47 na segunda equação:
Resolvendo:
Passo 20
Por fim, substituímos todas as variáveis encontradas na primeira equação:
Resolvendo:
Resposta
Resolvendo com pivotação parcial, as soluções aproximadas com duas casas decimais são: