Exercício 4.47 - Livro Ciência e Engenharia de Materiais - Uma Introdução - 9ạ Ed Para um tamanho de grão ASTM igual a 6, quantos grãos devem existir por polegada quadrada para:
a) Uma ampliação de 100x;
b) Sem qualquer ampliação;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Ciência e Engenharia de Materiais! A questão fala sobre o tamanho de grão segundo o padrão ASTM e quer saber quantos grãos existem por polegada quadrada nas situações de ampliação de 100x e sem ampliação. Para resolver isso, vamos precisar entender a relação entre o número ASTM de tamanho de grão e a quantidade de grãos por área, além de como a ampliação influencia essa contagem.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o número ASTM de tamanho de grão. O número ASTM (American Society for Testing and Materials) é uma escala logarítmica que relaciona o tamanho do grão com a quantidade de grãos por unidade de área. A fórmula que usamos para essa relação é:
G = 2^(N - 1)/2
Onde:
  • é o número de grãos por polegada quadrada a uma ampliação de 100x.
  • é o número ASTM de tamanho de grão.
No nosso caso, .

Passo 3

Vamos reorganizar a fórmula para encontrar 6 = 2^(G - 1)/2 . Queremos descobrir quantos grãos existem por polegada quadrada para um número ASTM de 6.
log2(6) = G - 12
Para resolver isso, vamos aplicar logaritmo de base 2 em ambos os lados para isolar 2 cdot log2(6) = G - 1 :
G = 2 cdot log2(6) + 1
Multiplicando ambos os lados por 2:
G = 2 cdot 2.585 + 1 = 5.17 + 1 = 6.17
Somando 1 em ambos os lados:
Calculando :
Sabemos que .
Então:
Arredondando, temos grãos por polegada quadrada a 100x.

Passo 4

Agora, para encontrar o número de grãos por polegada quadrada sem qualquer ampliação, precisamos considerar que sem ampliação, a área observada é menor, o que significa que veremos menos grãos. A relação entre ampliação e área observada é inversa ao quadrado da ampliação. Ou seja:
Nsem ampliação = G times ( 1100 )^2 çã
Nsem ampliação = 6.17 times 110000 = 0.000617 çã
Isso significa que, sem ampliação, existirão aproximadamente 0.000617 grãos por polegada quadrada.

Resposta

a) Aproximadamente 6,17 grãos por polegada quadrada a 100x de ampliação.
b) Aproximadamente 0,000617 grãos por polegada quadrada sem qualquer ampliação.

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