Exercício 6: A sacarose, C12 H22 O11, decompõe-se em frutose e glicose em solução ácida com a lei de velocidade,
v=k[C12 H22 O11], k=0,216 h^-1 a 25^circ C
(b) Qual é o tempo necessário para que 87,5 % da concentração inicial de sacarose se decomponha?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cinética química juntos! A gente tem a sacarose se decompondo em frutose e glicose em meio ácido, seguindo uma lei de velocidade de primeira ordem. O que a gente quer descobrir é quanto tempo vai levar para que 87,5% da sacarose inicial se decomponha. Para isso, vamos precisar entender a equação da velocidade de reação de primeira ordem e como aplicá-la.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação da cinética de primeira ordem. Ela é dada por:
ln([A]0[A]) = kt
Aqui, [A]0 é a concentração inicial da substância (no caso, a sacarose), [A] é a concentração após um tempo t, k é a constante de velocidade, e t é o tempo que a gente quer descobrir.

Passo 3

A gente sabe que 87,5% da sacarose vai se decompor. Isso significa que restará apenas 12,5% da concentração inicial. Vamos expressar isso em termos da concentração:
[A][A]0 = 0,125

Passo 4

Agora, vamos substituir esses valores na equação da cinética de primeira ordem:
ln([A]00,125[A]0) = kt
Simplificando [A]0:
ln(10,125) = kt
Calculando o logaritmo natural:
ln(8) = kt

Passo 5

Sabemos que $ \ln(8) \approx 2,079 $ e que a constante de velocidade $ k = 0,216 \ \mathrm{h}^{-1} $. Agora, podemos isolar $ t $:
ln(8) approx 2,079

Resposta

O tempo necessário para que 87,5 % da concentração inicial de sacarose se decomponha é aproximadamente 9,63 horas.

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