Expresse o número 2 516 como a razão de inteiros (use a série gemométrica).
Temos que
2 516 & =2+51610^3+51610^6+51610^9+cdots=sumn=1^infty 51610^3(110^3)^n-1 & =2+51610^31-110^3=2+516999=2514999

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu um número repetido na forma decimal: 2516. A missão aqui é transformar esse número em uma fração, ou seja, uma razão entre dois inteiros. Para isso, vamos usar a série geométrica, que é uma ferramenta matemática que ajuda a somar termos que se repetem de forma decrescente ou crescente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa 2516. Esse número é composto pela parte inteira 2 e pela parte decimal que repete o grupo 516 infinitamente: 2.516516516… e por aí vai. Para transformar isso em uma fração, precisamos expressar essa parte decimal repetida como uma soma de frações.

Passo 3

Vamos separar o número em duas partes: a parte inteira e a parte decimal repetida.
2516 = 2 + 0516
Agora, focamos na parte decimal: 0516. Nosso objetivo é expressar essa repetição como uma série geométrica.

Passo 4

A parte decimal 0516 pode ser escrita como:
0.516 + 0.000516 + 0.000000516 + cdots
Perceba que cada termo após o primeiro é dividido por 10^3 = 1000, já que “516” tem 3 dígitos. Então, podemos escrever essa soma como uma série geométrica:
0516 = 51610^3 + 51610^6 + 51610^9 + cdots = sumn=1^infty 51610^3n

Passo 5

Sabemos que a soma de uma série geométrica infinita é dada por:
S = a1 - r
onde:
  • é o primeiro termo da série,
  • é a razão (fator de multiplicação entre os termos).
No nosso caso, o primeiro termo e a razão .

Passo 6

Aplicando a fórmula da série geométrica:
0516 = 51610^31 - 110^3 = 51610009991000 = 516999

Passo 7

Agora, voltamos ao número original:
2516 = 2 + 0516 = 2 + 516999
Para somar isso tudo, vamos colocar 2 na forma de fração com denominador 999:
2 = 2 times 999999 = 1998999
Então, somando as frações:
2 + 516999 = 1998 + 516999 = 2514999

Resposta

O número 2516 pode ser expresso como a fração 2514999.

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