Expresse o número como a razão de inteiros (use a série gemométrica).
Temos que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente recebeu um número repetido na forma decimal: . A missão aqui é transformar esse número em uma fração, ou seja, uma razão entre dois inteiros. Para isso, vamos usar a série geométrica, que é uma ferramenta matemática que ajuda a somar termos que se repetem de forma decrescente ou crescente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa . Esse número é composto pela parte inteira 2 e pela parte decimal que repete o grupo 516 infinitamente: 2.516516516… e por aí vai. Para transformar isso em uma fração, precisamos expressar essa parte decimal repetida como uma soma de frações.
Passo 3
Vamos separar o número em duas partes: a parte inteira e a parte decimal repetida.
Agora, focamos na parte decimal: . Nosso objetivo é expressar essa repetição como uma série geométrica.
Passo 4
A parte decimal pode ser escrita como:
Perceba que cada termo após o primeiro é dividido por , já que “516” tem 3 dígitos. Então, podemos escrever essa soma como uma série geométrica:
Passo 5
Sabemos que a soma de uma série geométrica infinita é dada por:
onde:
é o primeiro termo da série,
é a razão (fator de multiplicação entre os termos).
No nosso caso, o primeiro termo e a razão .
Passo 6
Aplicando a fórmula da série geométrica:
Passo 7
Agora, voltamos ao número original:
Para somar isso tudo, vamos colocar 2 na forma de fração com denominador 999: