Expresse o número como a razão de inteiros (use a série gemométrica).
Temos que

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu um número repetido na forma decimal: . A missão aqui é transformar esse número em uma fração, ou seja, uma razão entre dois inteiros. Para isso, vamos usar a série geométrica, que é uma ferramenta matemática que ajuda a somar termos que se repetem de forma decrescente ou crescente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Esse número é composto pela parte inteira 2 e pela parte decimal que repete o grupo 516 infinitamente: 2.516516516… e por aí vai. Para transformar isso em uma fração, precisamos expressar essa parte decimal repetida como uma soma de frações.

Passo 3

Vamos separar o número em duas partes: a parte inteira e a parte decimal repetida.
Agora, focamos na parte decimal: . Nosso objetivo é expressar essa repetição como uma série geométrica.

Passo 4

A parte decimal pode ser escrita como:
Perceba que cada termo após o primeiro é dividido por , já que “516” tem 3 dígitos. Então, podemos escrever essa soma como uma série geométrica:

Passo 5

Sabemos que a soma de uma série geométrica infinita é dada por:
onde:
  • é o primeiro termo da série,
  • é a razão (fator de multiplicação entre os termos).
No nosso caso, o primeiro termo e a razão .

Passo 6

Aplicando a fórmula da série geométrica:

Passo 7

Agora, voltamos ao número original:
Para somar isso tudo, vamos colocar 2 na forma de fração com denominador 999:
Então, somando as frações:

Resposta

O número pode ser expresso como a fração .

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Temos que
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então .
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